la convergencia de la serie con $k!$

Question

comprobar si la siguiente serie converge:

$\sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^k \dfrac{(k-1)!!}{k!!}$

donde $k!!=k(k-2)(k-4)(k-6)...$

Me encontré con este ejercicio, mientras que pasando a través de algunos de los antiguos exámenes. Estoy bastante seguro de que han obligado a la secuencia y aplicar Leibniz-criterios, pero después de un rato me di por vencido. Si usted tiene una pequeña Pista para mí, sólo que me strted , eso sería genial.

Answer 1

Set $a_k = (k-1)!!/k!!$, por lo que estamos viendo en la serie de $\sum_{k=1}^\infty (-1)^k a_k$. Observe que los términos impares son exactamente los normalizado central de los coeficientes binomiales: $$ a_{2n} = \frac1{4^n} \binom{2n}n. $$ Por conocido asymptotics, $a_{2n} \sim 1/\sqrt{\pi n}$ $n$ crece grande. Del mismo modo, $$ a_{2n-1} = \frac1{2na_{2n}} \sim \frac{\sqrt{\pi n}}{2n} = \frac{\sqrt\pi}{2\sqrt n} $$ como $n$ crece grande. Por lo tanto \begin{align*} \sum_{k=1}^{2N} (-1)^k a_k &= \sum_{n=1}^N ( -a_{2n-1}+a_{2n} ) \\ &\approx \sum_{n=1}^N \bigg( {-}\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt n}+\frac1{\sqrt{\pi n}} \bigg) \sim c\sqrt N \end{align*} donde $c = -\sqrt\pi+2/\sqrt\pi < 0$. Por lo que la suma diverge a $-\infty$.