$\mathbb{C}[x,y] / \langle xy \rangle$ no es isomorfo a $\mathbb{C}[x] \oplus \mathbb{C}[y]$ debido a que el primer anillo no tiene idempotents otros de $0,1$, mientras que el segundo lo hace.
De hecho, $\mathbb{C}[x,y] / \langle xy \rangle$ no puede ser escrita como una suma directa de dos distinto de cero anillos:
En un anillo conmutativo con unidad $R$ si $R = R_1 \oplus R_2$, entonces no es un idempotente $e \in R$ tal que $R_1 \cong eR$$R_2 \cong (1-e)R$. Y por el contrario, si $e$ es un idempotente de $R$,$R \cong eR \oplus (1-e)R$. (Aquí, $eR$ es el ideal generado por a $R$, lo que forma un anillo con identidad $e$.)
Los casos especiales $R = 0 \oplus R$ $R = R \oplus 0$ corresponden a la idempotents $0, 1$$R$.
En $\mathbb{C}[x,y] / \langle xy \rangle$, $0$ y $1$ son la única idempotente elementos. (Si $P \in \mathbb{C}[x,y]$ tiene poderes de $x$ o poderes de $y$, $P^2$ tiene grandes poderes de $x$ o poderes de $y$ e no es igual a $P$.)
Por lo $\mathbb{C}[x,y] / \langle xy \rangle$ no puede ser escrita como una suma directa de $R_1 \oplus R_2$, excepto en la forma trivial.
Acerca de los anillos sin la unidad:
Puede $R = \mathbb{C}[x,y]$ ser escrito como $R_1 \oplus R_2$ si $R_1$ $R_2$ no necesita ser de anillos con unidad?
No, porque entonces $R_1 \oplus R_2$ tendría una unidad de elemento, decir $(a,b)$, del que se desprende que $a$ es una unidad de $R_1$ $b$ es una unidad de $R_2$. Así que esto no permite más flexibilidad.
