El fin de la preservación de las inyecciones de los números ordinales en $[0,1]$

Question

La habitual "cerilla" la representación de un número ordinal puede ser pensado como una orden de preservación de la inyección de ese ordinal en el intervalo [0,1]. Por ejemplo, he aquí una representación de $\omega^2$:

Uno puede utilizar esta técnica para visualizar aún más grande y más grande ordinales; por ejemplo, $\omega^3$ sería el mismo que el anterior, pero cada individuo de una cerilla sería reemplazado con otro triángulo infinito que conduce a la siguiente, de fósforo, de modo que hay tres capas de infinitos triángulos. Mientras exista una orden de preservación de la inyección de su elegido ordinal en $[0,1]$, esta técnica de trabajo para ayudarle a visualizar.

Así que mi pregunta es: ¿cuál es el supremum de todos los números ordinales para que una orden de preservación de la inyección existe en esta forma? Es la primera innumerables ordinal? La inicial ordinal de $2^{\aleph_0}$? Algo más pequeño? Algo más grande?

Answer 1

$\mathbb Q$ es un universal contables de orden lineal: Cualquier contables de orden lineal incrusta en ella. Esto es fácilmente demostrado por la enumeración de los contables de la orden, y la definición de la incrustación por recursión, el uso de ese $\mathbb Q$ es densa y no tiene puntos finales.

Desde $\mathbb Q$ es isomorfo a $\mathbb Q\cap(0,1)$, tenemos que cada contables ordinal incrusta en $\mathbb Q\cap(0,1)$. Si queremos que la incrustación $f$ a ser continua, reemplace$\mathbb Q\cap(0,1)$$[0,1]$, y redefinir $f(\lambda)$ por cada límite de $\lambda$ en el dominio de $f$ como el supremum de la anterior $f(\beta)$.

[Con algún trabajo extra, podemos organizar que la integración en $\mathbb Q\cap(0,1)$ sí es continua, si esto es preferible.]

Finalmente, $\omega_1$ sí no incrustar en $\mathbb R$: Si $f:\omega_1\to\mathbb R$ es estrictamente creciente, hay una inyección de $\omega_1$ a $\mathbb Q$: Enviar $\alpha$ a algunos racional en $(f(\alpha),f(\alpha+1))$. Esto es imposible, por supuesto.

[Podemos probar un resultado más fuerte aquí, es decir, cualquier aumento de la $f:\omega_1\to\mathbb R$ finalmente es constante.]