Sé que el individuo cohomology grupos son representables en el homotopy categoría de los espacios por parte de la Eilenberg-MacLane espacios. También es cierto que toda la cohomology anillo es representable? Si es así, hay una interpretación geométrica de la copa del producto como una operación en la que representa el espacio?
Respuestas
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Niyaz
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Sí, pero es mucho mejor buscar la representación de espectro. Cohomology de grado n es representado por el (la punta) del espacio K(Z, n), como usted ha señalado. A continuación, el producto R de todos los K(Z, n), donde n varía más de todos los enteros no negativos es el objeto que representa para el conjunto de la cohomology anillo. Por el Yoneda lema (aplicado a la homotopy categoría de espacios) de la copa del producto está representado por los mapas:
K(Z, n) x K(Z, m) --> K(Z, n + m)
Estos se reúnen para dar un único mapa de R x R ---> R. Esto funciona para cualquier (conectivo) multiplicativo generalizada cohomomology teoría.
Lo que NO se obtiene de este espacio único R son alguna de la suspensión isomorphisms, o, equivalentemente, la de Mayer-Vietoris mapas. Un (ingenuo) anillo de espectro, también realiza un seguimiento de estos mapas.
csmba
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El cohomology anillo es representable por el producto de todos los Eilenberg-Mac Lane espacios K(Z, n) n varía. Tenga en cuenta que esto le da al producto de la abelian grupos HnX, no su suma directa. Por ejemplo, cuando X = CP∞ obtenemos el poder de la serie anillo Z[[t]], no el polinomio anillo Z[t]. Esto es en cierto modo más natural (es correctamente doble de la toma de la suma directa de grupos de homología) y es a menudo lo que usted quiere de todos modos (como en la relación entre cohomology de teorías y de grupo formal de las leyes).
Hay un homotopy clase de mapas que representa la copa del producto, pero no sé de una interpretación geométrica.
El total de cohomology de los espacios debe ser pensado como un anillo graduado, o más precisamente como una gradual E* álgebra donde E* es el cohomology de un punto. Es representable en el sentido de que hay una gradual E* álgebra objeto en hTop que la representan.
Vamos a descomprimir un poco.
En primer lugar, usted tiene que entender acerca de los objetos de grupo y así sucesivamente. La historia completa se encuentra en Lawvere teorías, pero la idea básica es que, digamos, un grupo de objetos en una categoría
