Encontrar todos los números reales $a,b$ tal que $|a|+|b|\geq\frac{2}{\sqrt{3}}$ $|a\sin x+b\sin{2x}|\leq 1$ para todos los verdaderos $x$.

Question

Encontrar todos los números reales $a,b$ tal que $|a|+|b|\geqslant\frac{2}{\sqrt{3}}$ $|a\sin(x)+b\sin(2x)|\leqslant 1$ para todos los verdaderos $x$.

Podríamos escribir la desigualdad como $$ \left|\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin (x)+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin(2x)\right|\leqslant \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} $$ y vamos a $$ \cos (y)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} $$ y $$ \sin (y) = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}. $$ La desigualdad es equivalente a $$ \left|\cos (y)\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)-\sin (y)\sin(2x)\right|\leqslant \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}, $$ pero los términos son diferentes, así que no podemos usar el coseno además de la fórmula.

Answer 1

Deje $f(x)=a\sin x+b\sin 2x$. Tenga en cuenta que $f(-x)=-f(x)$, por lo que podemos suponer $a\ge 0$. También se $f(\pi-x)=a\sin x-b\sin 2x$, de modo que también puede asumir el $b\ge 0$.

Nos fijamos primero en el valor máximo de $k\sin x+\sin 2x$. Diferenciar y poner $c=\cos x$ obtenemos $kc+2(2c^2-1)=0$, lo $4c^2+kc-2=0$, lo $c=\frac{1}{8}(\sqrt{32+k^2}-k)$. [Es obvio que el máximo es positivo $c$.]. Por lo tanto la configuración de $s=\sin x$,$s=\sqrt{1-c^2}=\sqrt{1-\frac{1}{64}(\sqrt{32+k^2}-k)^2}$. Por lo que el máximo valor de la expresión es $ks+2sc=\frac{1}{32}(3k+\sqrt{32+k^2})\sqrt{32+2k(\sqrt{32+k^2}-k)}$.

Queremos encontrar el valor de $k$ a minimizar. Pero primero debemos dividir por $1+k$, por lo que estamos manteniendo $a+b$ constante. A partir de este punto en un lío convierte en un horrible desastre.

Minimizar una cantidad positiva es la misma como la minimización de su plaza. Así que empezamos por el cuadrado y dividiendo por $(1+k)^2$: $$\frac{128+80k^2-k^4+32k\sqrt{32+k^2}+k^3\sqrt{32+k^2}}{128(1+k)^2}$$

Ahora nos diferenciar y encontrar que el resultado factorises como $(k-2)g(k)$ donde $$g(k)=\frac{k^4+4k^3+24k^2+128k-256-\sqrt{32+k^2}(k^3+4k^2+8k-64)}{64(k+1)^3\sqrt{32+k^2}}$$

Así que tenemos que mostrar que $g(k)>0$$k>0$. Poner $r(k)=k^4+4k^3+24k^2+128k-256$$s(k)=\sqrt{32+k^2}(k^3+4k^2+8k-64)$, por lo que el $g(k)=r(k)-s(k)$. Tenemos $r(k)=(k^2+32)(k^2+4k-8)$. Con un poco de trabajo también encontramos $r(k)^2-s(k)^2=256(k-2)(k+2)^2(k^2+32)$, lo $|r(k)|>|s(k)|$$k>2$. Desde $r(k)$ es obviamente positivo para $k>2$ tenemos $g(k)>0$$k>2$. Pero $|r(k)|<|s(k)|$ $k<2$ $s(k)$ es obviamente negativo para $k\le 2$, así que de nuevo $g(k)>0$$k\le 2$.

Así, hemos establecido que minimizamos el valor máximo de $f(x)$ tomando $k=2$ o $a=2b$. Mirando hacia atrás nos encontramos con que el máximo se consigue entonces para $c=\frac{1}{8}(6-2)=\frac{1}{2}$ y, por tanto, de tomar $a=\frac{4}{3\sqrt3},b=\frac{2}{3\sqrt3}$ obtenemos un valor máximo de 1.

Así que los únicos valores posibles de $a,b$$\pm\frac{4}{3\sqrt3},\pm\frac{2}{3\sqrt3}$.

Todo lo que puedo decir es que tiene que haber una mejor manera, pero por el momento no puedo ver!

Answer 2

Si $a$ $b$ son del mismo signo, a continuación,$|a|+|b|=|a+b|\geqslant\frac{2}{\sqrt3}$. Es fácil adivinar un valor de $x$ para que la desigualdad de $|a\sin x+b\sin 2x|\leqslant 1$ se convierte en la igualdad - por ejemplo, $x=\frac{\pi}{3}$. Por lo tanto, este punto es un extremo local para $f(x)=a\sin x+b\sin 2x$, lo $$f'(\pi/3)=a\cos\pi/3+2b\cos2\pi/3 = a/2 - b = 0,$$ es decir,$a=2b$. Utilizando ahora la relación de $|a+b|=\frac{2}{\sqrt3}$, se pueden encontrar dos pares de $(a,b)$, y dos de ellos son adecuados.

El caso de $a$ $b$ de distinto signo puede ser considerado de una manera similar (en este caso $|a|+|b|=|a-b|$), y conduce a otro de los dos pares.

Answer 3

Un punto de $(b,a)$ es factible si $|a\sin x+b\sin(2x)|\leq1$ para todos los verdaderos $x$. La simetría consideraciones muestran que el conjunto de puntos factibles es simétrica con respecto a ambos ejes. Por lo tanto, es suficiente para determinar la factibles $(b,a)$ en el primer cuadrante $Q$. Deje $\cos x=:u$. A continuación, $(b,a)\in Q$ es factible iff $$\sqrt{1-u^2}\ |a+2b u|\leq 1\quad(-1\leq u\leq1)\ ,$$ o $$-{1\over\sqrt{1-u^2}}-2b u\leq a\leq {1\over\sqrt{1-u^2}}-2b u\quad(-1< u<1)\ .$$ En particular, se tiene necesariamente $$a\leq{1\over\sqrt{1-u^2}}-2b u\qquad(0\leq u<1)\ .\tag{1}$$ Para cada uno de ellos fijo $u$ la condición de $(1)$ define un semiplano en el $(b,a)$-plano. Es viable $(b,a)$ tiene que estar en la intersección de estos la mitad de los aviones, es decir, en el área en blanco de la figura de abajo. El límite de la zona blanca es la (convexo!) sobres $\epsilon$ de la familia de las líneas de $$\ell_u:\qquad a={1\over\sqrt{1-u^2}}-2b u\qquad(0<u\leq1)\ .$$ Este sobre se ve como una parábola, sino que es un grado más alto de la curva. En cualquier caso, la línea de $$\ell_{1/2}:\qquad a={2\over\sqrt{3}}-b$$ es un miembro de esta familia, por lo tanto es hacia el exterior de la tangente a $\epsilon$. Observando la figura se deduce que no es exactamente una factible punto de $(b,a)\in Q$ satisfacer también la condición de $a+b\geq{2\over\sqrt{3}}$, es decir, el punto donde $\ell_{1/2}$ toques $\epsilon$. Sin entrar en el cálculo de los sobres puedo decir que este es el punto de $(b,a)=\bigl({2\over3\sqrt{3}},{4\over3\sqrt{3}}\bigr)$. De ello se desprende que hay exactamente cuatro puntos de $(b,a)$ cumplen con todos los requisitos, es decir, los puntos $$\left(\pm{2\over3\sqrt{3}},\ \pm{4\over3\sqrt{3}}\right)\ .$$