¿Cuál es el significado exacto de la notación de subíndice $\mathbb{E}_X[f(X)]$ en las expectativas condicionales en el marco de la teoría de la medida? Estos subíndices no aparecen en la definición de expectativa condicional, pero podemos ver por ejemplo en esta página de wikipedia . (Nótese que no siempre fue así, la misma página hace unos meses).
¿Cuál debería ser, por ejemplo, el significado de $\mathbb{E}_X[X+Y]$ con $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ y $Y=X+1$ ?
En una expresión en la que intervienen más de una variable aleatoria, el símbolo $E$ por sí sola no aclara con respecto a qué variable aleatoria es el valor esperado "tomado". Por ejemplo
$$E[h(X,Y)] =\text{?} \int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_X(x)\,dx$$ o $$E[h(X,Y)] = \text{?} \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_Y(y)\,dy$$
Tampoco . Cuando hay muchas variables aleatorias, y no hay subíndice en el $E$ se toma el valor esperado con respecto a su distribución conjunta:
$$E[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dy$$
Cuando un subíndice está presente... en algunos casos nos dice en qué variable debemos condicionar . Así que
$$E_X[h(X,Y)] = E[h(X,Y)\mid X] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{h(X,Y)\mid X}(h(x,y)\mid x)\,dy $$
Aquí, "integramos" el $Y$ y nos queda una función de $X$ .
...Pero en otros casos, nos dice que marginal densidad a utilizar para el "promedio"
$$E_X[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{X}(x) \, dx $$
En este caso, "promediamos" los $X$ y nos queda una función de $Y$ .
Bastante confuso diría yo, pero ¿quién ha dicho que la notación científica esté totalmente libre de ambigüedades o de usos múltiples? Habría que ver cómo define cada autor el uso de esos símbolos.
Tengo dos preguntas. 1) No estoy seguro de entenderlo bien, ¿puedo interpretar la expectativa como una de las dos primeras ecuaciones, si se ha fijado X o Y? 2) ¿Puedes dar un ejemplo para EQ 4 y EQ 5? Me cuesta interpretarlos y creo que ejemplos concretos ayudarían. Gracias.
@ceiling cat 1) $E[h(X,\bar y)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x,\bar y) f_X(x)dx$ es correcto porque esencialmente se hace no tienen dos variables aleatorias. Igualmente, para la fijación de $X$ a $\bar x$ .
@ceiling cat 2)-EQ5 : Considerar $Z = X^2(Y-(Y+2)^3) = h(X,Y)$ . $Z$ es una variable aleatoria recta (para un soporte adecuado). Entonces usando el significado específico para la notación corta, $E_X(Z)=E_X[(h(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(y-(y+2)^2) f_{X}(x)dx$ donde $f_{X}(x)$ es la densidad de $X$ (sea lo que sea). Obviamente $Y$ no está integrado, y permanecerá intacto. Pero el resultado que obtendrá no será un número (como en mi comentario anterior), sino una variable aleatoria (una función de $Y$ ), ya que $Y$ aquí está no arreglado, sólo que no está integrado fuera.
Sólo quiero añadir un complemento a la gran respuesta de Alecos. A veces no importa el R.V. exacto (o el conjunto de RV) la expectativa es más. Por ejemplo,
$$ E_{X\sim P(X)} [X] = E_{X\sim P(X,Y)}[X] $$
En su pregunta particular, sospecho que porque se le da $h(X,Y)$ es lineal en X e Y, entonces se dividirá en las expectativas "marginales" $E_X[X]$ y $E_X[Y]$ (y luego cambiar en $Y = X + 1$ )
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Sin duda, alguien intervendrá con definiciones formales; de manera informal, todas las expectativas son expectativas sobre la distribución de (/expectativa con respecto a) alguna variable aleatoria (posiblemente multivariable), tanto si se ha especificado explícitamente como si se ha dejado implícita. En muchos casos es obvio ( $\text{E}(X)$ implica $\text{E}_X(X)$ en lugar de $\text{E}_W(X)$ ). Otras veces, es necesario distinguir; considere la ley de la varianza total, por ejemplo: $\text{Var}[Y] = \text{E}_X\left[\text{Var}[Y\mid X]\right] + \text{Var}_X\left[\text{E}[Y\mid X]\right]$ .
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@Glen_b ¿Es realmente necesario especificar en la ley de la varianza total? Como $E[Y|X]=f(X)$ para algunos $f$ ¿No está claro que $\text{Var}[E[Y|X]]$ ha terminado $X$ ?
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@ThomasAhle Tienes mucha razón: "necesario" era una palabra demasiado fuerte para ese ejemplo. Aunque estrictamente hablando debería estar claro, a menudo es un punto de confusión para los lectores no acostumbrados a trabajar con él, por lo que es común, más que necesario, ser explícito al respecto. Hay algunas expresiones relacionadas con las expectativas en las que no se puede estar seguro sin especificarlas, pero ésta no es realmente una de ellas