Tres dimensiones esférica exceso de fórmula

Question

Todos sabemos que el esférico exceso de fórmula: en una unidad de la esfera, el área de un triángulo geodésico es igual a la superación de $\pi$ de la suma de los tres ángulos del triángulo.

Hay una fórmula similar para una geodésica tetraedro en una 3-esfera? Estoy seguro de que debe haber, pero parece ser complicado. Gracias de antemano.

Answer 1

Como de costumbre, es interesante consultar los grandes maestros, en una condición, que sean legibles. John Milnor es uno de estos. Él siempre está claro.

Yo le aconsejo que lea "Cómo Calcular el Volumen en el espacio Hiperbólico" en "John Milnor. Collected papers. Volume1. De la geometría. páginas 189-212. Publicar o Perecer Editor de 1994.

Answer 2

Hay, de hecho, la generalización del ángulo sumas de relaciones esférica $d$-polytopes.
Sin embargo, la generalización sé que no implica que el volumen de la polytope por extraño $d$.

• Deje $P$ cualquier esférica/euclidiana/hiperbólico $d$-polytope.
• Deje $F_j$ ser la colección de $j$-caras de $P$$0 \le j \le d$.
• Para cada cara $f$$P$, tomar un punto interior $p$ $f$ y definir $$\alpha_f(P) = \lim_{\epsilon \to 0}\frac{\verb/Vol/(P \cap B_p(\epsilon) )}{\verb/Vol/(B_p(\epsilon))}$$
• Definir un grupo de coeficientes de $\alpha_{-1}(P), \alpha_{0}(P), \ldots, \alpha_{d}(P)$ por: $$\alpha_{-1}(P) = \frac{\verb/Vol/(P)}{\verb/Vol/(B(1))} ,\quad \alpha_{j}(P) = \sum_{f\en F_j} \alpha_{f}(P)\quad\text{ para } 0 \le j \le d $$ donde $B(1)$ es el conjunto de la esfera al $P$ es esférica y cualquier unidad de $d$-ball (creo) al $P$ es hiperbólica.

Tenemos

Generalizada Gramo de relaciones (Grünbaum, Sommerville, Heckman) $$ \sum_{j = 0}^d (-1)^j \alpha_j(P) = \varepsilon^{d/2}(1 + (-1)^d)\alpha_{-1}(P) \quad\text{ donde }\quad \varepsilon = \begin{cases} \;1, & P \quad\text{ spherical }\\ \;0, & P \quad\text{ euclidean }\\ -1, & P \quad\text{ hyperbolic } \end{casos}$$

Para el caso especial de tetraedro en $d = 3$, independiente de si es esférica/euclidiana/hiperbólica, la fórmula anterior se reduce a

$$\sum_{v \in V} \frac{\Omega_v}{4\pi} - \sum_{e \in E} \frac{\theta_e}{2\pi} +\frac{|F|}{2} - 1 = 0$$ donde $V, E, F$ son el conjunto de vértices o aristas/facetas de tetraedro, $\Omega_v$ es el ángulo sólido en el vértice $v$ $\theta_e$ es el ángulo diedro en el borde de la $e$.

Como se puede ver, esta fórmula no implica que el volumen de número impar $d = 3$.

Yo realmente no saben estas cosas, la fórmula anterior se extrae de el papel de Ángulo sumas de dinero en polytopes y polytopal complejos por Kristin A. Camenga. Ver el $\S 4.2$ no para una descripción más exacta de las relaciones y referencias allí para obtener más detalles.