La comprobación de la estabilidad de un punto de equilibrio

Question

Tengo la linealización de un sistema no lineal alrededor de un punto de equilibrio de la siguiente manera

$$ \dot x = (-a+M)x, $$ donde $x\in\mathbb{R}^3$, $A$ es una matriz positiva definida y $M$ tiene sus valores propios en el eje imaginario, y sólo uno es igual a cero. Tanto en $A$ $M$ real entradas.

Me pregunto si este sistema es estable o no. O en el otro lado para encontrar un contra-ejemplo en el que el sistema no es estable. Para $M$ ser un sesgo de simetría de la matriz, entonces la prueba se convierte en algo trivial, pero en general mi $M$ no es sesgar-simétrica.

Answer 1

Voy a intentar responder a mi propia pregunta.

Vamos a la siguiente descomposición $M = U^{-1}SU$ donde $S$ es un sesgo simétrica la matriz, y sin pérdida de generalidad $$ S = \begin{bmatrix} 0 & \omega & 0 \\ -\omega & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. $$ Básicamente, tenemos una circular en la que el movimiento de rotación en los nuevos ejes X-Y, con una frecuencia fija $\omega\in\mathbb{R}$, y la dirección de la rotación está dada por el signo de $\omega$. Descomponer como bien $A = U^{-1}TU$, y deje $\tilde x = Ux$, por lo tanto $$ \dot{\tilde x} = -T\tilde x + S\tilde x $$

Aplicar otro cambio de coordenadas a $\tilde x$, donde básicamente el nuevo marco de coordenadas es el mismo que en $\tilde x$ pero de rotación con velocidad angular $\omega$ y el eje de rotación es paralelo a la $Z$ eje de $\tilde x$ . El cambio de coordenadas es $$ y(t) = R(\theta(t))\tilde x, $$ donde $$ R(\theta(t))= \begin{bmatrix}cos(\theta(t)) & -sin(\theta(t)) & 0 \\ sin(\theta(t)) & cos(\theta(t)) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, $$ y $$ \dot\theta(t) = \omega. $$

A continuación, la dinámica de $y$ $$ \dot y = -\tilde{T}R(\theta)\tilde x + R(\theta)\tilde x + \dot{R(\theta)}\tilde x= \\ = -\tilde{T}y + \omega \left(\begin{bmatrix}s(\theta) & c(\theta) & 0 \\ -c(\theta) & s(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-s(\theta) & -c(\theta) & 0 \\ c(\theta) & -s(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\right)y = -\tilde{T}(\theta(t))y, $$ donde hemos aplicado la descomposición $T = R^T\tilde TR$. Tenga en cuenta que $||y|| = ||\tilde x||$, si bien la norma $||y||$ converge a cero, el mismo para $\tilde x$ y el transcurso de la misma para $x$.

Si $\omega$ es lo suficientemente pequeño, entonces la convergencia de la siguiente manera según los resultados de la lentitud variante de tiempo de los sistemas..., pero esto es bastante conservador resultado, creo que el sistema es estable para todas las $\omega$.