Ultrapoderes no isomórficos

Question

Está claro que dada una familia $(\mathfrak{A}_i)_{i\in I}$ de $L$ -sus ultraproductos pueden depender de la elección del ultrafiltro (para esta cuestión sólo considero los ultrafiltros no principales).

¿Hay algún ejemplo fácil de por qué dado y $L$ -estructura $\mathfrak{A}$ la elección del ultrafiltro (no principal) $\mathcal{U}$ en $I$ puede afectar a la clase de isomorfismo de $\mathfrak{A}^I/\mathcal{U}$ ?

Answer 1

Dejemos que $L$ tienen símbolos de predicado unarios $\dot X$ para todos los subconjuntos $X$ de $\mathbb N$ y que $\mathfrak A$ sea la estructura con universo $\mathbb N$ en el que cada $\dot X$ tiene la interpretación obvia $X$ . En cualquier extensión elemental $\mathfrak B$ de $\mathfrak A$ definir el tipo de cualquier elemento $b$ para ser el conjunto de aquellos $X\subset\mathbb N$ para lo cual $\dot X(b)$ es cierto en $\mathfrak B$ .

Ahora consideremos los ultrapoderes de $\mathfrak A$ por ultrafiltros $\mathcal U$ en $\mathbb N$ . Observe que $[i]_{\scr U}$ la clase de equivalencia en $\mathfrak A^{\mathbb N}/\mathcal U$ de la función de identidad $i$ , tiene el tipo $\mathcal U$ . Así que cada ultrafiltro en $\mathbb N$ ocurre como el tipo de un elemento en tal ultrapoder. Pero un ultrapoder cualquiera sólo realiza $2^{\aleph_0}$ tipos, ya que sólo tiene $2^{\aleph_0}$ elementos. Y los ultrapoderes isomorfos realizan los mismos tipos. Así que para realizar todos los $2^{2^{\aleph_0}}$ ultrafiltros no principales en $\mathbb N$ debe haber $2^{2^{\aleph_0}}$ ultrapoderes no isomórficos.

Si no estás contento con mi uso de un lenguaje incontable $L$ entonces es necesario trabajar más, y en particular utilizar conjuntos de índices incontables $I$ pero todavía es posible obtener ultrapoderes no isomórficos de cualquier estructura, incluso para un lenguaje contable -de hecho, incluso para el lenguaje que consiste sólo en la igualdad. La frase clave que hay que buscar aquí es "ultrafiltro regular".