Hace un conjunto $A \subseteq [0,1]$ existir tal que $A$ es homeomórficos $[0,1] \setminus$?
No tengo idea de cómo atacar este problema. Cualquier ayuda será apreciada.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tales subconjuntos no existen. El intervalo $[0,1]$ es homeomórficos a la extensión de la línea real de $X=[-\infty, \infty]$ (con el estándar de la topología). Ahora, vamos a $A\subconjunto X$ ser la unión de los $\infty$, con la colección de intervalos de $[2n, 2n+1)$, $n\in {\mathbb Z}$. El conjunto $A$ es homeomórficos a $B$, que es la unión de $\infty$, y la colección de intervalos de $(2n, 2n+1]$: Enviar $\infty$ y $[2n, 2n+1)\a (2n, 2n+1]$, $\forall n$ lineal a través de los mapas. La composición de este homeomorphism con el mapa de $x\mapsto -x+1$, obtenemos un homeomorphism $A\X\setminus$. qed
Edit: Aquí es una prueba de que para un ejemplo de ($A$ homeomórficos a $A^{\mathrm c}=[0,1]\setminus$) el conjunto $A$ ha de constar de un número infinito de componentes.
Supongamos que $a$ es finito, de la unión de los intervalos (I deje abierto, semi-abierto, cerrado y degenerado intervalos). Para cada intervalo de $I$ a definir su "modificado de Euler carácter" $\chi^c(I)$ como el número de vértices (puntos finales que pertenecen a $I$) menos el número de aristas (que es 1 si $I$ es no degenerada y $0$ si $I$ es un singleton). Así, por $I=[a,b]$, obtenemos $\chi^c(I)=1$, mientras que para $I=(0,1)$, obtenemos $\chi^c(I)=-1$; también tenemos $\chi^c((0,1])=0$.
Ahora, extender $\chi^c$ a lo finito uniones de intervalos en el obvio de la moda. Para subconjuntos compactos con un número finito de componentes, $\chi^c=\chi$, la costumbre de Euler characterstic. Uno puede (fácilmente) muestran que $\chi^c$ es aditivo: $$ \chi^c(\bigsqcup_{i=1}^n I_i)=\sum_{i=1}^n \chi^c(I_i) $$ (esto es falso, por la costumbre característica de Euler!) y es invariante bajo homeomorphisms.
Ahora, si $a\subconjunto [0,1]$ es una unión finita de intervalos y $A^{\mathrm c}$ es homeomórficos a $A$, entonces $$ 2\chi^c(A)=\chi^c(A)+ \chi^c(A^{\mathrm c})=\chi^c([0,1])=1 $$ lo cual es absurdo. El mismo funciona para el intervalo $(0,1)$.
El mismo argumento funciona en las dimensiones superiores, pero se tiene que modificar lo de "número finito de componentes". En su lugar, asumir que $a$ es "semialgebraic", es decir, está dada por un sistema finito de las desigualdades de tipo $p_i(x)>0$, $p_j(x)\ge 0$, donde $p$'s son polinomios de varias variables. La clave es que $\chi^c$ de la cerrada $$n-dimensional disco es de $1$ y que $\chi^c$ es de nuevo aditivo. La modificación de la característica de Euler puede ser considerado como el "derecho" característica de Euler para semialgebraic conjuntos; puede ser definida como la alternancia de suma de rangos de homología de grupos para la Delfs' homología de la teoría ("homología con el cierre de apoyo", que no debe confundirse con Borel-Moore!). Esta interpretación explica el por qué de $\chi^c$ es un invariante topológico (esto ya no es evidente con la 2ª definición a continuación).
De una manera más directa la definición de $\chi^c$ es considerar "incompleta simplicial complejos" triangulación semialgebraic conjuntos, es decir, generalizada simplicial complejos donde la simplices puede ser que falten algunas de las caras (como el intervalo $[0,1)$ falta el vértice $1$) y, a continuación, utilizar el estándar alterna suma de la cara de los números, como lo hice anteriormente en el 1-dimensional caso.
