Demostrando $\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab} \le\frac{1}{2}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})$

Question

Demostrar $$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right),$$ donde $a,b,c > 0$ $a,b,c \in \mathbb{R}$

Bueno, he estado tratando durante 3 horas buenas, nada funcionó en absoluto. Ya he aplicado HM < SOY, pero todavía estoy atascado. Se dio la siguiente: $$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{a+b+c}{abc}\le2(a+b+c)$$

Answer 1

Sugerencia: $$\frac{1}{a^2+bc} \le \frac{1}{2a\sqrt{bc}} = \frac{1}{2\sqrt{ab}\sqrt{ac}}.$$ Ahora aplicar AM-GM de la desigualdad.

$$\frac{1}{a^2+bc} + \frac{1}{b^2+ac} + \frac{1}{c^2+ab} \le \frac{1}{2\sqrt{ab}\sqrt{ac}} + \frac{1}{2\sqrt{ab}\sqrt{bc}} + \frac{1}{2\sqrt{ac}\sqrt{bc}} \le $$
$$\le \frac14 \left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac} + \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)=\frac12\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right).$$