Cambio de orden del doble límite de la secuencia de funciones

Question

La pregunta más general es bajo qué condiciones se mantendrá la siguiente igualdad (todas las funciones son realmente valoradas): $$ \lim_ {x \rightarrow a} \ \lim_ {j \rightarrow \infty } f_j(x) = \lim_ {j \rightarrow \infty } \ \lim_ {x \rightarrow a} f_j(x)$$

Una pregunta más específica es si se mantendrá para las funciones no continuas $f_j$ que son uniformemente convergentes a una función límite no continua $f$ y todos los límites dobles simples e iterados existen.

También serían útiles algunas referencias.

Answer 1

La respuesta a la pregunta concreta es Sí.

Desde $f_j$ converge (uniformemente y por tanto) puntualmente a $f$ ,
$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \mathop {\lim }\limits_{j \to \infty } f_j (x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x). $$ Para cualquier $\varepsilon > 0$ ya que $f_j$ converge uniformemente a $f$ existe $N = N(\varepsilon)$ tal que $$ \sup _x |f_j (x) - f(x)| < \varepsilon $$ para cualquier $j > N$ . Suponemos que todos los límites existen. Por lo tanto, para cualquier $j > N$ , $$ |\lim _{x \to a} f_j (x) - \lim _{x \to a} f(x)| = |\lim _{x \to a} (f_j (x) - f(x))| \le \varepsilon . $$ Defina $p_j = \lim _{x \to a} f_j (x)$ y $p = \lim _{x \to a} f(x)$ . Entonces, $$ |\lim _{j \to \infty } p_j - p| = \lim _{j \to \infty } |p_j - p| \le \varepsilon , $$ desde $|p_j - p| \leq \varepsilon$ para cualquier $j > N$ . Desde $\varepsilon$ es arbitraria, $ \lim _{j \to \infty } p_j = p$ Por lo tanto $$ \mathop {\lim }\limits_{j \to \infty } \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f_j (x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \mathop {\lim }\limits_{j \to \infty } f_j (x). $$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\left |\lim_{x\to a}f_j(x) - \lim_{x\to a} f(x)\right|\le \|f_j-f\|_\infty\to 0,\; j\to \infty$$

Así $$\lim_{j\to\infty}\lim_{x\to a}f_j(x) = \lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} \lim_{j\to\infty}f(x)$$

Answer 3

Convergencia uniforme significa que para cada $\varepsilon > 0$ existe $j_0$ tal que para todo $j \geq j_0$ y para todos $x \in D$ (el dominio de definición de las funciones $(f_j),f$ tienes $|f_j(x)-f(x)| <\varepsilon$ .

Por la forma en que está definida la pregunta, aunque $f,f_j$ no son continuos, los límites $L=\lim_{x \to a}f(x)$ y $L_j=\lim_{x \to a}f_j(x)$ existir. La cuestión se traduce en probar o refutar la siguiente equaildad:

$$\lim_{j \to \infty}L_j=L$$

Sea $\varepsilon>0$ y por la definición de continuidad uniforme sabemos que existe $j_0$ tal que para todo $j \geq j_0$ y para todos $x \in D$ tenemos que $|f_j(x)-f(x)|<\varepsilon$ . Tomando $x \to a$ en la última desigualdad obtenemos que $|L_j-L|<\varepsilon ,\ \forall j \geq j_0$ . Esto demuestra la afirmación.

Como observación, creo que la pregunta debería editarse de forma que

• el dominio de definición de las funciones $f_j,f$ es clara, es decir $f_j,f: D \to \Bbb{R}$ donde $D=\Bbb{R}$ u otro conjunto adecuado.

• mencionar que $a$ es un punto límite para $D$

• aunque las funciones $f_j,f$ no son continuos, para que la pregunta sea válida, debemos suponer la existencia de los límites $\lim_{x \to a}f_j(x), \ \lim_{x \to a}f(x)$ .