Transformada de Laplace de una variable aleatoria

Question

Mi profesor dice que la transformada de Laplace de una VR no negativa determina de manera única la VR hasta la igualdad distribucional entre todas las RV no negativas. Él dice que se puede argumentar esto apelando a un hecho que ya conozco, que es que la distribución de una VR está determinada por su función característica.

No veo cómo abordar el problema de esta manera, ni de ninguna otra manera. Si las VR fueran acotadas, creo que sabría qué hacer. Entonces, la función característica tendría una continuación analítica a todo el plano complejo, y un corte perpendicular de la función da la transformada de Fourier, por lo tanto ambos deben tener la misma función característica.

Answer 1

Sean $X$ e $Y$ variables aleatorias no negativas que tienen la misma transformada de Laplace. Define $$f(z):=\int_{\Bbb R}e^{-tz}d\mu_X(t)-\int_{\Bbb R}e^{-tz}d\mu_Y(t),$$ donde $z\in\ U:=\{z=x+iy,x>0\}$. Entonces $f$ es analítica en el conjunto abierto conexo $U$, y es $0$ en el subconjunto no discreto $\{x,x>0\}\subset U$. Por lo tanto, se sigue que $f(z)=0$ para todo $z\in U$, y por convergencia dominada, $f(is)=0$ para todo $s\in\Bbb R.