En esta pregunta, $X$ será un suave compleja variedad proyectiva. Esta pregunta será sobre la comparación de dos diferentes maneras de calcular el grado de un vector paquete en una $X$.
Entiendo que, a menos $X$ es una curva o $\mbox{Pic}(X)=\mathbb Z$, no es bien definida la noción de "grado" para que el vector de paquetes.
Me gustaría usar $X=\mathbb{P}^2$ como un ejemplo. Esta es una variedad con $\mbox{Pic}(X)=\mathbb Z$. Un vector paquete de $V$ $\mathbb{P}^2$ tiene una bien definida grado, el cual se define para ser la imagen de $\det V$ bajo la natural identificación de $\mbox{Pic}(X)$$\mathbb Z$. Por ejemplo, si $V$ es la tangente paquete de $\mathbb{P}^2$,$\det V=\mathcal O(3)$, y por lo $\deg V=3$.
También he visto la siguiente manera de definir el grado, para conjuntos de variedades proyectivas: desde $X$ es proyectiva, hay un mapa de $\kappa$ $X$ en un espacio proyectivo de la misma o de mayor dimensión. A continuación, definimos una línea bundle $\mathcal O_X(1)$ $X$ tirando hacia atrás de la $\mathcal O(1)$ desde el proyectiva espacio a través de la $\kappa$. A continuación, el grado de un paquete de $V$ $X$ es un número que he visto denota cualquiera de
$\deg(V):=c_1(\mathcal O_X(1))^{d-1}.c_1(V)$
o
$\deg(V):=c_1(\mathcal O_X(1))^{d-1}\cap c_1(V)$,
donde $d=\dim(X)$.
Pregunta:
En el caso de $X=\mathbb P^2$, el mapa de $\kappa$ es la identidad, y tenemos $\deg(V)=c_1(\mathcal O(1))\cap c_1(V)$ donde $\mathcal O(1)$ es sólo el hyperplane paquete de $\mathbb P^2$ sí.
Al $V$ es la tangente paquete, ¿cómo puedo ver que el número de $c_1(\mathcal O(1))\cap c_1(V)$ es igual a $3$? Mi "instinto" es pensar de $\mathcal O(1)$ como la línea de paquete de un divisor $D$, que a su vez está determinado por una hipersuperficie, específicamente un proyectiva de línea en $\mathbb P^2$, y, a continuación, pregunte por el número de veces que la línea es atravesado por un "genérico" de la sección de $V$ (un campo de vectores en $\mathbb P^2$, en este caso, pero yo no quiero que esto depende demasiado en el hecho de que estas secciones son campos vectoriales).
Es esta la manera correcta de pensar?
Si es, entonces, dos preguntas más:
(1) ¿Cómo puedo ver de una forma bastante intuitiva manera de que esta intersección número es $3$?
(2) ¿por Qué la intersección producto de dos clases de Chern (elementos de la cohomology anillo de $H^*(X,\mathbb Z)$) ser igual a la intersección número de un divisor y un campo de vectores (o de dos divisores, más en general)? (Creo que hay una cohomology $\leftrightarrow$ la geometría de la filosofía que necesito para entender mejor).
