Los módulos que son isomorfos a su producto tensor.

Question

Supongamos que tenemos un anillo conmutativo $R$. Estoy interesado en encontrar la (finitely generado y proyectivo, si quieres) $R$-módulos de $M,$ tal que $M\cong M\otimes_R M$ $R$- módulos.
Yo sé que es verdad para $M=R$ o al $M$ es generado por un conjunto finito de ortogonal idempotents.

Quiero saber si si o no esos son todos los módulos que esa propiedad. Gracias.

Answer 1

Aquí están algunos ejemplos:

• Localizaciones o cocientes de $R$.
• Más en general, cualquier epimorphism de anillos conmutativos con el dominio $R$.
• Libre de $R$-módulos de infinito valor.
• $R \oplus \bigoplus_{i \in I} N$ cualquier $R$-módulo de $N$$N \otimes N = 0$.

El finitely generado ejemplos pueden ser clasificados en:

Reclamo: Cuando $M$ es un finitely generadas $R$-módulo de con $M \otimes M \cong M$, $M$ es cíclico, es decir, $M \cong R/I$ por algún ideal $I \subseteq R$.

Prueba: Podemos de cambio de base de a $R/\mathrm{Ann}(M)$ y por lo tanto suponer que $\mathrm{Ann}(M)=0$. A continuación, mostramos $M \cong R$. Desde $M$ es finitely generado, tenemos $\mathrm{supp}(M)=V(\mathrm{Ann}(M))=\mathrm{Spec}(R)$. Para cada $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R)$ por lo tanto $M \otimes \kappa(\mathfrak{p})$ $1$- dimensional y $M_{\mathfrak{p}}$ es generado por un solo elemento (Nakayama). Desde $\mathrm{Ann}(M_{\mathfrak{p}})=0$, esto implica que $M_{\mathfrak{p}}$ es libre de rango $1$. Por lo tanto $M$ es localmente libre de rango $1$, por lo tanto invertible, y $M \otimes M \cong M$ implica $M \cong R$. $\square$

Por supuesto, $R$ es la única finitely generado proyectiva ejemplo (al $R$ es un dominio).