Prueba $\pi \gt e+\frac{1}{e} \gt \pi-\frac{1}{\pi} \gt e$

Question

He creado este problema para mí como un ejercicio divertido. Quiero demostrar la siguiente afirmación:

$$\pi \gt e+\dfrac{1}{e} \gt \pi-\dfrac{1}{\pi} \gt e$$

Encontré que los siguientes límites superiores/inferiores para $e$ y $\pi$ son "lo suficientemente buenos" para establecer la afirmación anterior como verdadera:

$$\dfrac{30}{11} \gt e \gt \dfrac{8}{3}$$

$$\dfrac{13}{4} \gt \pi \gt \dfrac{25}{8}$$

Los límites superior/inferior de $e$ se demuestran fácilmente considerando la representación en serie de $e^x$ y el cálculo de sumas parciales para $x=1$ y $x=-1$ .

Sin embargo, no sé cómo establecer los límites superior/inferior para $\pi$ . Podría plantearlo como Arquímedes y utilizar polígonos inscritos/circunscritos (creo que requiere al menos un $10$ -gon y $18$ -gon en este caso). ¿Existe una manera más fácil de obtener estos límites superiores/inferiores en $\pi$ ?

EDITAR:

También he incluido la etiqueta "pruebas alternativas" porque estoy abierto a pruebas de cualquier tipo, especialmente aquellas que son elegantes o particularmente simples, y que no requieren el conocimiento de $e$ o $\pi$ con gran precisión.

Answer 1

Tengo una idea prometedora pero todavía tengo que trabajar los detalles.
Hay una clase de integrales que conectan $\pi$ y $e$ que vienen de: $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(x)}{1+x^2}=\frac{\pi}{2e}\tag{1} $$

Ahora podemos aplicar la integración por partes varias veces, llegando: $$ \frac{\pi}{e} = \int_{0}^{+\infty}\frac{p(x)(1-\cos x)}{(1+x^2)^k}\,dx \tag{2}$$ con $p(x)$ siendo algún polinomio, entonces se aplica la desigualdad de Cauchy-Schwarz al lado derecho de $(2)$ : $$\begin{eqnarray*} \frac{\pi^2}{e^2}&=&\left(\int_{0}^{+\infty}\frac{p(x)(1-\cos x)}{(1+x^2)^{k}}\,dx\right)^2\\&\leq& \left(\int_{0}^{+\infty}\frac{p(x)(1-\cos x)}{(1+x^2)^{k-1}}\,dx\right)\cdot\left(\int_{0}^{+\infty}\frac{p(x)(1-\cos x)}{(1+x^2)^{k+1}}\,dx\right)\tag{3}\end{eqnarray*}$$ dando lugar a un producto de dos integrales que todavía se pueden evaluar en términos de $\pi$ y $e$ .

Eso debería dar aproximaciones arbitrariamente precisas para la relación $\frac{\pi}{e}$ y demostrar todas las desigualdades deseadas. Como he dicho, seguiré trabajando en este enfoque. También tenemos: $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x(1+x^2)}\,dx = \frac{\pi(e-1)}{2e}$$ donde la función integrante en el LHS está esperando ser descompuesta con respecto a una base ortogonal de $L^2(\mathbb{R}^+)$ - Sólo tengo que entender con respecto a qué producto interno.

Answer 2

Las aproximaciones $ 3.14 < \pi < 3.34 $ y $ 2.70 < e < 2.76 $ basta con hacer el cálculo con dos decimales.

Answer 3

En realidad, no tienes que establecerlo. Sólo hay que constatar que es así. Una máquina de Turing podría establecerlo; no se degrade.