¿Es efectiva esta prueba ingenua para saber si una curva elíptica compleja tiene multiplicación compleja?

Question

Tengo una pregunta sobre una prueba ingenua para saber si una curva elíptica compleja $E$ tiene una multiplicación compleja.

Recordemos que el anillo de endomorfismo $End(E)$ de $E$ es isomorfo a $\mathbb{Z}$ o un orden en un campo cuadrático imaginario $K$ . En este último caso decimos que $E$ tiene CM por $K$ .

Supongamos que nos dan una curva elíptica sobre $\mathbb{C}$ , digamos que $$E: y^2=x^3+17x^2-19.$$ Uno quiere saber si existe un campo cuadrático imaginario $K$ para lo cual $E$ tiene CM por $K$ .

Dejemos que $j(E)$ sea la j-invariante de nuestra curva elíptica (por ejemplo, la curva anterior tiene j-invariante $\frac{6179217664}{363641}$ ) y recordar que la j-invariante, vista como una función modular, da un mapa surjetivo desde el semiplano superior a $\mathbb{C}$ . Sea $\omega$ sea cualquier elemento de la preimagen de $j(E)$ . Ahora definimos una segunda curva elíptica: $$E_\omega: y^2=4x^3-g_2(\omega)-g_3(\omega),$$ donde $g_2=60G_4$ y $g_3=140G_6$ son múltiplos de la serie de Eisenstein correspondiente. Ambas curvas elípticas están definidas sobre $\mathbb{C}$ y tienen la misma j-invariante. Por tanto, son isógenas. Se sabe que la curva elíptica $E_\omega$ es isomorfo al toro complejo $\mathbb{C}/\Lambda_\omega$ donde $\Lambda_\omega=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\omega$ .

Es fácil demostrar que $\mathbb{C}/\Lambda_\omega$ tiene CM por algún campo cuadrático imaginario si y sólo si $\omega$ es un número imaginario y cuadrático. En este caso el anillo de endomorfismo de $\mathbb{C}/\Lambda_\omega$ será una orden en el campo $\mathbb{Q}(\omega)$ .

Esto sugiere una prueba para CM: dada una curva elíptica $E$ definido sobre $\mathbb{C}$ con j-invariante $j(E)$ , encontrar una preimagen de $j(E)$ bajo la función modular $j:\mathbb{H}\rightarrow\mathbb{C}$ y determinar si la preimagen genera o no una extensión cuadrática imaginaria de $\mathbb{Q}$ .

Ahora mi pregunta: ¿se puede realizar realmente esta prueba? Wikipedia me dice que la inversa de la j-invariante se puede calcular en términos de funciones hipergeométricas, pero no sé si se podría utilizar esta inversa para determinar si una j-invariante dada estaba asociada a una curva con CM.

Answer 1

No sé nada de funciones hipergeométricas, así que esto no es una respuesta directa a tu pregunta. Pero, he pensado mucho en el problema de detectar la multiplicación compleja de las curvas elípticas (y ciertos análogos de mayor dimensión para las variedades abelianas).

Supongamos que nos dan un número entero algebraico $j$ y se desea saber si se trata de una invariante CM j. Entonces hay una especie de algoritmo de noche y día que puedes realizar aquí, donde por la noche reduces la curva elíptica modulo varios primos y tienes en cuenta el hecho de que si tu curva elíptica tiene CM, entonces la mitad de las veces (en el sentido de la densidad) obtendrás una curva elíptica supersingular y la otra mitad obtendrás una curva elíptica CM cuya álgebra de endomorfismo de característica p es la misma que el álgebra con la que empezaste. Por lo tanto, en la práctica, si tu curva no tiene CM, podrás descartarla con bastante rapidez encontrando dos primos de reducción ordinaria con diferentes álgebras de endomorfismo. Hasta ahora esto es sólo un algoritmo probabilístico. Una vez que se averigua que el campo CM es un campo cuadrático particular K o que no hay CM en absoluto, se calcula (por ejemplo, mediante la teoría clásica de CM como se describe, por ejemplo, en el libro de Cox Primas de la forma... ) se calcula el $j$ -invariantes de curvas elípticas con K-CM. Hay infinitos de estos, porque el j-invariante depende del endomorfismo anillo (equivalentemente, el conductor del orden), pero se puede calcular todos ellos por orden de conductor o mirar con más cuidado las reducciones mod p y obtener un límite de lo que podría ser el conductor.

[ Editar : En realidad, se puede averiguar exactamente cuál debe ser el orden CM calculando el anillo de endomorfismo en dos primos cualesquiera de la reducción ordinaria. Es un teorema que si $E$ es una curva con CM por el orden del conductor $f$ en un campo CM $K$ y $p$ es un primo de reducción ordinaria, el conductor del anillo de endomorfismo reducido es $f/p^{ord_p(f)}$ Es decir, sólo hay que quitar el $p$ -parte del director de orquesta].

Sin embargo, este no es el estado de la técnica. Más bien, véase el documento

Achter, Jeffrey D. Detección de la multiplicación compleja. (Resumen en inglés) Computational aspects of algebraic curves, 38--50, Lecture Notes Ser. Comput., 13, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2005.

[Una copia está disponible en su página web http://www.math.colostate.edu/~achter/.]

En el artículo, Achter utiliza el teorema de Faltings y el teorema de la densidad efectiva de Cebotarev para eliminar la parte del "día" del algoritmo. También ofrece un análisis de la complejidad y explica por qué esto es más rápido que lo que he esbozado anteriormente.

Por último, estoy seguro de que el autor de la pregunta lo sabe, pero puede que otros no: para las curvas elípticas sobre $\mathbb{Q}$ no hay necesidad de hacer nada de esto. En su lugar, sólo hay que calcular el $j$ -invariante y ver si es uno de los $13$ $j$ -de curvas elípticas CM sobre $\mathbb{Q}$ asociado a la $13$ órdenes cuadráticos de la clase número uno (sí, esto se basa en la resolución de Heegner-Baker-Stark del problema de la clase número uno de Gauss). Para la lista, véase, por ejemplo

modular.fas.harvard.edu/Tables/cmj.html

Answer 2

Una pregunta interesante. Tengo algunas observaciones, pero nada definitivo. Supongo que está asumiendo implícitamente que el $j$ -invariante se da como un número complejo (con algún tipo de proceso que le da más y más dígitos a medida que los necesita).

1) Tener CM, $j$ debe tener un conjugado real.

2) Tener CM, $j$ debe ser un entero algebraico.

3) Los grados como números algebraicos del $j$ están aumentando rápidamente. Es decir, sólo hay un número finito de $j$ de un grado determinado. Como resultado de esto, la cantidad de precisión que se necesita va a aumentar. Lo que quiero decir con esto, es que la forma más práctica de tratar con esto es tener una tabla de $j$ correspondientes a los órdenes imaginarios cuadráticos de bajo número de clase (probablemente existan en alguna forma útil), y sólo hay que probarlos primero. Si no obtienes un resultado, tienes un límite inferior del grado como número algebraico.

4) No sé nada sobre lo bien que está el ${}_2 F_1$ converge sobre los números complejos, sin embargo, una cosa interesante a probar es la $p$ -función hipergeométrica adica (a la Dwork). No sé cómo podría funcionar, pero vale la pena intentarlo.

Añadido después: En mis comentarios dije que la forma más razonable de proceder sería adivinar un grado, $d$ para $j$ como un número algebraico y luego utilizar la reducción de la red para encontrar una putativa ecuación irreducible, $f(x)$ , para $j$ . Sabemos que para que $j$ para tener CM, debe tener una raíz real, y su grupo de Galois debe ser abeliano. Así que comprueba eso. Creo que también se puede obtener información útil del teorema de Gross-Zagier en que $f(j_0)$ será un número entero con sólo "pequeños" divisores primos donde $j_0$ se extiende sobre el $j$ correspondientes a los órdenes cuadráticos de clase 1.

Answer 3

A diferencia de Pete Clark, yo no he pasado ningún tiempo real trabajando en este tipo de problemas, así que deberías tomar todo esto con un gran grano de sal. Pero creo que este algoritmo es bastante razonable como forma de descartar el CM, aunque sería difícil utilizarlo para demostrar que el CM existe. EDITAR : Como señala FC, este algoritmo sólo encuentra los entramados de la forma $\mathcal{O}_K$ y no los entramados de la forma $I$ donde $I$ es un ideal en $\mathcal{O}_K$ . Este último puede no tener ni siquiera una verdadera $j$ -invariante. No veo la manera de evitar esto.

Así es como yo lo haría: Comience con su $j$ invariante, $j_0$ . Si no es real, la curva no tiene CM . Si $j_0$ es real, calcula $\tau$ tal que $j(\tau) = j_0$ y tal que $\tau$ está en $$\{ i t: t \geq 1 \} \cup \{ z : |z|=1, \ 0 \leq \Re(z) \leq 1/2 \} \cup \{ 1/2 + i t: t \geq \sqrt{3}/2 \}.$$

Describiré el caso en el que $\tau$ está en el eje imaginario; los otros casos son similares. Aquí está el punto que nadie ha hecho todavía: El imaginario puro $it$ genera un orden imaginario si y sólo si $t^2$ es un número entero. Por lo tanto, sólo tenemos que realizar el cálculo con la precisión suficiente para determinar si $t$ es un número entero. Por supuesto, nunca se puede saber si un cálculo en coma flotante converge a un número entero, pero muy pronto lo hará o fallará claramente.