Determinante no negativo de una matriz de bloques

Question

Este es el problema en el que estoy atascado desde hace tiempo.

Dejemos que $A,B \in M_n(\mathbb{R})$ . Sea $C= \begin{bmatrix} A & B \\ -B & A \\ \end{bmatrix} $ ser un verdadero $2n \times 2n$ matriz. Demostrar que $\det(C) \geq 0$ .

Los que he probado hasta ahora son:

1. Primero intenté escribir el determinante de $C$ como la suma de $2^{2n}$ determinantes de la matriz expandiendo todas las filas de $C$ tal que para cada secuencia binaria de longitud $2n$ como $a = (a_1, a_2, ..., a_{2n})$ , si $a_i = 0$ entonces la primera $n$ entradas de $i$ -son cero y si $a_i = 1$ entonces el segundo $n$ entradas de $i$ -de la fila son cero. Pero no pude acercarme a ninguna respuesta.
2. En segundo lugar, sabemos que el determinante es el producto de los valores propios. El polinomio característico de $C$ tiene coeficientes reales por lo que sus raíces complejas vienen en pares conjugados y tienen producto positivo. Lo que queda es demostrar que cada valor propio negativo tiene multiplicidad par, lo que no he podido demostrar.

Se agradece cualquier tipo de pista y/o idea.

Answer 1

Una pista. Comienza con $$\det{\begin{bmatrix}A & B \\-B & A\end{bmatrix}}=\det{\begin{bmatrix}A-iB& B+iA \\-B & A\end{bmatrix}}.$$

Answer 2

Dejemos que $\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \in \mathbb{R}^{2n}$ sea un vector propio con valor propio $\lambda$ .
Entonces $\left( \begin{matrix} -y \\x \end{matrix} \right)$ es también un vector propio con valor propio $\lambda$ por lo que todos los valores propios tienen un número par de vectores propios lineales independientes.