¿Implicaciones motivadoras del axioma de elección?

Question

¿Cuáles son las consecuencias motivadoras del axioma de elección (o de su omisión)? Sé que a veces se requieren formas débiles de elección para obtener resultados interesantes como el de Banach-Tarski; ¿cuáles son algunas consecuencias importantes de una formulación fuerte del axioma de elección?

Answer 1

Para construir los inversos izquierdo y derecho de las funciones cuando el dominio no está bien ordenado necesitamos el axioma de elección. Además, siempre podemos obtener una ordenación buena (esto es equivalente al axioma de elección) por lo que también podríamos obtener este resultado (entonces se toma para los muchos inversos el más pequeño).

También es importante en el análisis funcional, por ejemplo, Hahn-Banach depende de él. El axioma de elección implica a Hahn-Banach, pero no al revés.

Answer 2

Cada uno de los siguientes es equivalente al axioma de elección:

• Todo espacio vectorial (sobre cualquier campo) tiene una base.

• Toda suryección tiene una inversa correcta.

• El lema de Zorn.

La primera es extremadamente importante y útil. La tercera se utiliza todo el tiempo, especialmente en álgebra, también muy importante y útil.

Se podría escribir un libro entero sobre las consecuencias importantes (y equivalentes) del axioma de elección.

Desgraciadamente, cualquier editor que se precie lo rechazaría, puesto que ambos ya han sido escritos:

1. Rubin, Herman; Rubin, Jean E. Equivalentes del axioma de elección. North-Holland Publishing Co., Amsterdam 1963 xxiii+134 pp.

2. Rubin, Herman; Rubin, Jean E. Equivalentes del axioma de elección. II. Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas, 116. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1985. xxviii+322 pp. ISBN: 0-444-87708-8

3. Howard, Paul; Rubin, Jean E. Consecuencias del axioma de elección. Encuestas y Monografías Matemáticas, 59. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998. viii+432 pp. ISBN: 0-8218-0977-6

Sin embargo, estos libros no son probablemente el mejor lugar para empezar; el primer libro está bien, ya que enumera algunos de los equivalentes más importantes tal y como se conocían antes del trabajo de Cohen, pero al menos el último es bastante difícil de leer.

Si quiere una buena introducción al axioma de elección y alguna idea de sus usos, el libro de Horst Herrlich Axioma de elección Lecture Notes in Mathematics v. 1876, Springer-Verlag (2006) ISBN: 3-540-30989-6 es bastante bueno, y en él se discuten algunas de las cosas malas que ocurren si no se tiene CA, algunas de las cosas malas que ocurren si se hacer tienen AC, y algunos axiomas alternativos que contradicen AC pero conducen a teoremas muy bonitos.

Answer 3

El axioma de elección es necesario para demostrar, por ejemplo, que todo anillo tiene un ideal máximo (o un primo mínimo), o la existencia de un cierre algebraico.

Answer 4

Allí la medida de Lebesgue no es trivial - hay conjuntos no medibles en $\mathbb{R}$ .

Answer 5

Axioma de elección $\iff$ Un producto no vacío de conjuntos no vacíos es no vacío.