La Inducción matemática: ¿cómo sabemos que lo que se aplica a una cosa que también se aplica a otro?

Question

Antecedentes:

Soy nuevo en el de matemáticas. Estoy aprendiendo acerca de la teoría de conjuntos. El libro que me estoy leyendo (Schaum del Esquema de la Teoría de conjuntos) cubre la inducción matemática. El libro de los usos comunes de la ilustración y de un ejemplo común (sólo pude encontrar la misma ilustración y ejemplo cuando busqué en línea) para ilustrar cómo la inducción matemática obras.

Ilustración: "...es como una fila de pie de fichas de dominó. En primer lugar, demostrar que uno de dominó cae después de que se inserta. Segundo, demostrar que empujar más de un pie de domino derribar el segundo. Esencialmente, que demuestra que una fila de pie de fichas de dominó caerán si la primera es empujado." (tomado de decodedscience.com)

Ejemplo:

"(1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2

(2) Si x_1, x_2, ..., x_n > 0 entonces (x_1 + x_2 + ... + x_n)/n ≥ (x1·x2·...·xn)^1/n etc.

n aquí es un "arbitrario" entero.

Es conveniente hablar de una declaración de P(n). Para (1), P(1) dice que 1 = 12, que es esporádicamente verdadero. P(2) dice que 1 + 3 = 22, P(3) significa que 1 + 3 + 5 = 32. Y así sucesivamente. Estos casos particulares, se obtienen sustituyendo los valores específicos 1, 2, 3 para n en P(n)." (Tomado de cut-the-knot.org)

Lo Que Yo Entiendo:

Sé que la Inducción Matemática y La Otra de Inducción son diferentes. Sé que ambos están sobre la elaboración de conclusiones sobre el general mediante el examen de los concretos.

Intuitivamente, se puede ver que en el universo de las matemáticas, donde tenemos la ventaja de un 'bottom-up' de la comprensión de las leyes del universo, podemos emplear la inducción de forma fiable

Entiendo que las ecuaciones anteriores nos dicen que el valor de un conjunto de enteros impares es igual al cuadrado de la del conjunto cardenal. E. g., 1+3+5 = 9. El cardenal de 3. 3^2=9.

Puedo ver que usted podría aplicar esto a lo largo de todo el continuo de los números enteros impares.

Lo que no Entiendo:

No veo por qué estas ecuaciones se utilizan para ilustrar la inducción matemática. Sé muy poco acerca de las pruebas, pero creo que esas ecuaciones son ejemplos y no pruebas. En ese caso, no habría sido suficiente, pero trivial, para usar un ejemplo como, 'un entero es siempre un número entero mayor que el entero que precedió' n ≺ n+1

Estas ecuaciones se utilizan en todas partes para ilustrar la inducción matemática. Nadie usa el ejemplo que se me acaba de proporcionar. Así que estoy asumiendo que hay algo más valioso en aquellas ecuaciones que en mi ejemplo. ¿Qué es?

Pensé en algunos escenarios en los que (a mi entender) de la inducción matemática sería engañoso. Por ejemplo, si yo dijera que " un número primo va a ser un número entero mayor que el primer precedente.' Que funciona para los dos primeros números primos (2,3), por Lo que no hemos puesto de manifiesto que si se le empuja a uno de domino va a hacer que se caiga lo que hará que el próximo domino a caer...? (Pero en este caso, la segunda domino no causa la tercera domino a caer)

Tan lejos como yo (erróneamente) a comprender: inducción Matemática está diciendo que, " usted puede saber el infinitamente aplicables relación entre una entrada y una salida, siempre y cuando usted tiene dos conjuntos de entrada y de salida del mismo continuo.'

Lo estoy entendiendo mal? Gracias por su ayuda.

Agregó

• P(1) es verdadera

• Si P(*n*) es verdadera para cualquier n, entonces P(n+1)

Creo que puedo ver lo que me perdí.

• "P(1) es verdadera," es Un
• "P(n) es verdadera para cualquier n" es la B
• "P(n +1) es verdadera," es C

Pensé que lo que escribió para decir: (A&B)->C

En palabras (puede que se me han arruinado la notación): Si P(1) es verdadera; y P(n) es verdadera para cualquier n; entonces P(n +1). En otras palabras: Que siempre y cuando usted tiene P(1), entonces para cualquier n para el que P(n) es verdadero, usted también sabe que el próximo n es verdadera (es decir, P(n + 1)). Desde la 'next n' (es decir, P(n + 1)) es cierto, usted tiene el otro "cualquier n para el que P(n) es verdadero"; y se puede saber que el n siguiente (es decir, P(n + 2))también es cierto... y podría seguir para siempre; por lo tanto repetir el 'dominó' efecto.

Sin embargo, me pareció que también sería posible donde podemos encontrar algunas de las propiedades de los números naturales para el que P(1) es verdadera, y, a continuación, compruebe que la propiedad sobre cualquier otro número, y por casualidad, de que la propiedad puede parecer verdad. Uno entonces se habría satisfecho "P(1) es verdadero," y "P(n) es verdadera para cualquier n"; en cuyo caso, la inducción matemática induzca a error de los que creen que P(n) es cierto para todos los números naturales.

Creo que me han entendido que se trata de: (A&(B>C))<-> 'P(n) es verdadera para todos los números naturales'.

En palabras:

• 'Si P(1) es verdadera.
• Y si también es cierto que P(n + 1) es siempre verdadera siempre que 'P(n) es verdadera para cualquier n'
• Sólo entonces y siempre, entonces, ¿podemos decir con certeza que P(n) es verdadera para todos los números naturales.

Todavía estoy curioso, cómo "P(n + 1) es siempre verdadera siempre que 'P(n) es verdadera para cualquier n'", sin tener que depender de la 'evidencia' (desde ahora la cantidad de evidencia de las formas de prueba). Hay algo acerca de la inducción matemática que permite demostrar que, o es otra técnica que se utiliza para demostrar que no es cierto que "P(n + 1) es siempre verdadera siempre que 'P(n) es verdadera para cualquier n'"?

Answer 1

Parece que tienes una confusión general respecto a la inducción, por lo que voy a decir un par de cosas en la esperanza de que en algún lugar de mi respuesta es que lo que usted está buscando.

Voy a poner la definición de un poco formal. Supongamos que queremos demostrar alguna propiedad $P(n)$ es verdadera para todos los números naturales $n$. La inducción matemática nos dice que nos han demostrado que si podemos demostrar que:

• $P(1)$ es cierto
• Si $P(n)$ es cierto para cualquier $n$, $P(n+1)$

Estás en lo correcto de que las fórmulas que mencionas son ejemplos, no pruebas. Aunque yo no sé mucho acerca de la axiomática fundamentos de la matemática, como yo sé que usted realmente no demostrar por inducción. Más bien, es tomada como un axioma de los números naturales (ver axiomas de Peano).

El problema con la declaración de que cualquier entero es siempre uno más que el que precede es que es prácticamente la definición de los números naturales y la inducción. No es un muy buen ejemplo, porque usted necesita saber que, en primer lugar, para hablar de la inducción.

Usted menciona que sería suficiente, pero trivial, para utilizar su ejemplo. Ese es el punto: ¿por qué hemos de mencionar que si es trivial? La mayoría de las explicaciones de inducción de uso más elaborado ejemplos porque de esa manera ellos muestran cómo la inducción puede ser usada para probar cosas útiles. De hecho, hay algo valioso en declaraciones como "la suma de los primeros a $n$ números impares es $n^2$". Es decir, que son los nuevos conocimientos. Si estamos trabajando con rigor, con números naturales y de la inducción, ya sabemos que el $n+1$ es mayor que $n$, debido a que es la base para todo lo que estamos haciendo.

Echemos un vistazo a lo que está mal con su números primos ejemplo. En primer lugar, tenemos que escribir un poco más formalmente, porque el uso de la inducción se debe especificar $P(n)$. Podríamos decir esto: $P(n)$ es la afirmación de que el $(n+1)$th el primer número es el $n$th el primer número más uno. Vamos a llamar a la $n$th el primer número $p_n$. Entonces $p_1 = 2$, $p_2 = 3$, $p_3 = 5$, etc. $P(n)$ ahora puede ser escrito como $p_{n+1} - p_n = 1$.

Para demostrar que $P(n)$ es cierto para todos los $n$, la inducción pide que primero debemos demostrar que $P(1)$ es cierto. Y, por supuesto, es cierto para el $n = 1$: $p_{1+1} - p_1 = 3 - 2 = 1$. Por lo $P(1)$ es cierto. Pero el siguiente paso es donde falla de la inducción. No es cierto que la $P(n)$ implica $P(n+1)$. Digamos que por casualidad nos encontramos con dos números primos consecutivos cuya diferencia es $1$. Esto no implica necesariamente que también es cierto para el siguiente par de números primos.

En términos de la analogía: hemos probado que si queremos empujar la primera ficha de dominó que caen, pero tenemos no demostró que si una de las caídas de dominó, a continuación, que el próximo va a caer, porque en este caso es falsa. No podemos decir que si queremos empujar la primera ficha de dominó, a continuación, todos ellos caerá, porque no hemos demostrado que cada domino hará el próximo otoño. Todo lo que sabemos es que el primero va a caer.

Con respecto a su definición de la inducción como "usted puede saber el infinitamente aplicables relación entre una entrada y una salida, siempre y cuando usted tiene dos conjuntos de entrada y de salida del mismo continuum", debo admitir que no la entiendo. Podrían aclarar a qué te refieres con esto?

Añadido: Usted parece ser confuso inducción matemática con la inducción científica. En la ciencia, que nunca se puede "probar" nada. ¿Cómo sabemos que Einstein, la relatividad es cierto? Innumerables experimentos y observaciones que se han hecho, y cada uno de ellos está de acuerdo con la relatividad, así que estamos bastante seguros de que es cierto. Pero podría, en principio, ser una circunstancia que no hemos probado para que la ley no? Claro, y ha sucedido muchas veces en el pasado.

La inducción matemática no funciona de esta manera. Dicen que nos quieren demostrar que la suma de los primeros a $n$ números impares es $n^2$. Podemos comprobar para $n = 1$, y para $n = 2$, y podemos comprobar y verificar todo el día, hasta nuestra calculadora se rompe, pero nunca podemos estar seguros de que la afirmación es verdadera para todo número natural debido a que no podemos tratar a todos ellos. Son infinitas.

En su lugar, (matemática) de la inducción nos proporciona una manera de demostrar que algo es verdadero para todos los números naturales sin individualmente la comprobación de todos ellos, algo que es imposible. Este es un punto muy importante: esto no significa que sabemos que algo es cierto para una gran cantidad de números, así que debe ser verdad para todos ellos. Lo que es falso en matemáticas.

Cuando la gente dice que no hay pruebas, pero no la prueba de algo, eso es exactamente lo que significa. Tomar la conjetura de Collatz, por ejemplo. Ya que se ha comprobado que un montón de números, la mayoría de la gente piensa que es probablemente la correcta. Pero, y esto es importante, de nuevo, que no saben que es cierto. Nadie dice: "Bien, sabemos que la conjetura de Collatz es cierto para $n$$5000000000$, así que por ahora estamos seguros de que es cierto en general". Nadie dice que porque siempre que usted no tiene una rigurosa prueba, siempre existe la posibilidad de que hay un número muy elevado para que la proposición falla.

Answer 2

Sé que la Inducción Matemática y La Otra de Inducción son diferentes. Sé que ambos están sobre la elaboración de conclusiones sobre el general mediante el examen de los concretos.

Es importante ver que esto es absolutamente incorrecto. A diferencia de la inducción empírica, la inducción matemática es no, repita no, acerca de la elaboración de conclusiones acerca de la general a partir de casos específicos. Es una forma de dibujar una universalmente generalizado de la conclusión de un universalmente generalizado de la premisa (junto con un adicional de singular premisa). La más sencilla de patrón para la inducción sobre números naturales, por ejemplo, es este:

(1) Para todos los $n$ si $P(n)$$P(n+1)$.

(2) $P(0)$.

Por lo tanto (3) Para todos los $n$, $P(n)$.

Tenga en cuenta que la fundamental premisa (1) es ya universalmente generalizada. Que es lo que nos permite, con la ayuda de (2), para dibujar una universalmente generalizada conclusión.

Y la premisa (1) no puede ser establecido por el aspecto de una de los casos (un par de casos o un par de millones de dólares). Es en sí misma tiene que ser establecido por el otro argumento de verdades generales (tal vez por un argumento más a través de la inducción, pero en última instancia, mediante la apelación a la básica general de los axiomas de los números).

Answer 3

También se debe destacar que a diferencia de los otros axiomas, el principio de inducción matemática se refiere no sólo a variables, sino también a las propiedades. Por lo tanto, sería más adecuado referirse a ella como un axioma esquema en lugar de un axioma - como es una plantilla para la producción de un (infinito) número de axiomas, en lugar de ser un solo axioma en su propio derecho.

Answer 4

El principio de inducción matemática (PMI) es sólo uno de los axiomas de los números naturales. (Ver los Axiomas de Peano). En el lenguaje de la teoría de conjuntos, se puede enunciarse de la siguiente manera:

Para todos los subconjuntos de a$P$$N$, si

(a) $1\in P$, y

(b) para todos los $x\in P$,$S(x)\in P$,

a continuación, $P=N$

donde $S$ es el llamado sucesor función definida en el conjunto de los números naturales $N$.

Los axiomas de Peano puede ser descrito de manera informal como sigue:

1. $S$ es inyectiva (1-a-1) de la función en el set $N$.
2. $1$ es un elemento de $N$ sin pre-imagen en $S$. (Garantiza la existencia dentro de $N$ de una infinita cadena de sucesión de partida en $1$)
3. La cadena infinita de la sucesión de partida en $1$ incluye a cada elemento de a $N$. (Equivalente a PMI)