Es el oscilador armónico potencial único en tener igualmente espaciados discretos niveles de energía?

Question

Me preguntaba si los buenos viejos cuadrática potencial era el único con potencial igualmente espaciados autovalores. Obviamente, usted puede construir otros, tales como un potencial que es infinito en algunos lugares y cuadrática en otros, pero eso es sólo extremadamente diferentes. No me estoy refiriendo a equidistantes como un comportamiento limitante, ya sea, me refiero a realmente entero espaciados.

Alguna idea? Si no, hay una prueba de su singularidad?

Answer 1

Creo que mi respuesta a la pregunta "¿Cómo se determina la escalera de los operadores de forma sistemática?" da al menos una respuesta parcial a la pregunta. Es una respuesta parcial porque supongo que un poco más de su desnudo pregunta, pero entonces, como vemos, observando con cuidado yuggib la respuesta se observa que, obviamente, puede escribir un hamiltoniano con equidistantes autovalores y, a continuación, caracterizan a toda la familia de estos hamiltonianos. Queda claro que es necesario hablar más que simplemente el Hamiltoniano para responder a su pregunta: es necesario definir otras características observables y cómo se comportan para definir algo parecido a un "potencial".

Veamos yuggib la respuesta. Usted, evidentemente, puede escribir un hamiltoniano con equidistantes autovalores. Luego, como contador, en su comentario:

"Esto realmente no califica como una prueba? Asegúrese de que usted puede hacer que los operadores con un conjunto discreto de valores propios, pero, ¿cómo saber que no todos ellos son sólo equivalente a cada uno de los otros y la armónica potencial? También, debo decir que estoy realmente significa un potencial, porque, obviamente, usted puede escribir un Hamiltoniano como una matriz y darle igualmente espaciados autovalores, pero ¿cómo puedes saber qué potencial le dio origen?"

Para esta pregunta, puedo elegir la energía autoestados delimitada desde abajo. De lo contrario, podría ser arbitrariamente negativo de energía de los estados y no habría cuántica, el estado del suelo. Esto puede o puede no ser más que lo que usted quiere asumir, pero creo que es físicamente razonable. Como ya he dicho, me voy a dar un parcial de respuesta. Así que ahora nuestro conjunto de índices $I$ se convierte en realidad en el conjunto de semi enteros positivos $\mathbb{N}$. Así, en la notación de yuggib la respuesta, elija una base ortonormales $\left\{Y_j\right\}_{j=0}^\infty$ para nuestros supone separables (esta es otra hipótesis nos debe llevar a dar) el espacio de Hilbert de estados cuánticos con $P_j Y_k = \delta_{j\,k} Y_k$ donde $\delta$ es claramente la delta de Kronecker y $P_j$ son la proyección de los operadores sobre los vectores de la base. Entonces, la mayoría de los generales de Hamilton con equispaced autovalores es como está escrito en yuggib la respuesta con:

$$\lambda_i = E_0 + \sigma(i) \Delta$$

donde $E_0$ es el estado fundamental de energía, $\Delta$ de la energía espaciado y $\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ un bijection entre el $\mathbb{N}$ y el sí mismo. Así que hay un número infinito de Hamiltonianos con equispaced los niveles de energía. Todos los miembros de cada familia de Hamiltonianos definido por la familia de la planta de energía del estado de $E_0$ y el espaciado de las $\Delta$ son unitarily equivelent el uno al otro: dos miembros de la $\hat{H}_1,\,\hat{H}_2$ son equivalentes por $\hat{H}_1 = U\,\hat{H}_2\,U^\dagger$ $U$ algunos unitario operador.

Así que ahora, cómo trabajar esto en algo así como un "potencial"? Mi solución es, entonces, de manera abstracta definir la posición y el impulso observables $\hat{X},\,\hat{P}$ y hacemos nuestro final de tres supuestos:

1. Cumplen con la canónica de conmutación relación $\hat{X}\,\hat{P} - \hat{P}\,\hat{X}=i\,\hbar\,\mathrm{id}$;

2. Las mediciones de estas variables observables varían sinusoidalmente con el tiempo;

3. Nuestro observables son Hermitian operadores.

Así que ahora tenemos que Escribir un general estado cuántico como:

$$\psi = \sum\limits_{j\in\mathbb{N}} \psi_j e^{-i\,\left(j\,\omega_0+\frac{E_0}{\hbar}\right)\,t}$$

de modo que la media de un general observable $\hat{A}$ es:

$$\left<\left.\psi\right|\right.\hat{A}\left.\left|\psi\right.\right> = \sum\limits_{j=0}^\infty a_{j,j}|\psi_j|^2 + 2\,{\rm Re}\left(\sum\limits_{j=0}^\infty\sum\limits_{k=j+1}^\infty a_{j,k} \psi_j \psi_k^* \exp(i\,\omega_0\,(k-j)\,t)\,\right)$$

fácilmente podemos ver que las características observables con sinusoidalmente variables de medición de medios debe tener dos simétricamente colocados, complejo conjugado off-líder-diagonal rayas diagonales. Además, el desplazamiento de la diagonal principal deben ser los mismos para ambos $\hat{X},\,\hat{P}$ si son para cumplir con el CCR. El caso más simple es cuando las dos franjas que están inmediatamente por encima y por debajo de la diagonal principal. En este caso, los medios de las características observables variará como $\cos(\omega_0\, t + \phi_0)+const.$: si las dos rayas son desplazadas $N$ pasos cada lado de la diagonal principal, entonces tenemos la variación varía como $\cos(N\,\omega_0\, t + \phi_0)+const.$. El caso con las rayas desplazadas $N$ a partir de la líder de la diagonal de rendimiento de análisis que son esencialmente el mismo que el de abajo como se discutió en mi otra respuesta: en esencia se refieren a un oscilador cuántico con $N$ veces el espaciado de energía de la que aquí nos ocupamos.

Así que ahora, sin pérdida de generalidad, en nuestro asumido base podemos escribir la Hermitian observables como:

$$\begin{array}{ll}\hat{X} = \sqrt{\frac{\hbar}{2}}\left(\tilde{X} + \tilde{X}^\dagger\right) \\ \hat{P} = \sqrt{\frac{\hbar}{2}}\left(\tilde{P} + \tilde{P}^\dagger\right)\end{array}$$

donde:

$$\tilde{X} = \left(\begin{array}{ccccc}0&x_1&0&0&\cdots\\0&0&x_2&0&\cdots\\0&0&0&x_3&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{array}\right)\quad\tilde{P}=\left(\begin{array}{ccccc}0&p_1&0&0&\cdots\\0&0&p_2&0&\cdots\\0&0&0&p_3&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{array}\right)$$

ambos son arbitrarias en solitario-rayas triangular superior de las matrices. Usted tendrá que mirar en mi otra respuesta que he hecho referencia anteriormente para los detalles completos, pero al escribir el CCR, encontramos que:

$$\begin{array}{ll}\hat{X} = \sqrt{\frac{\hbar}{2\,m\,\omega_0\,\cos\chi}}\left(a^\dagger\,e^{-i\,\xi} + a\,e^{i\,\xi}\right) \\ \hat{P} = i\,\sqrt{\frac{\hbar\,m\,\omega_0}{2\,\cos\chi}}\left(a^\dagger\,e^{-i\,(\xi+\chi)} - a\,e^{i\,(\xi+\chi)}\right) \end{array}$$

donde hemos definido el arbitrario complejo constante $\alpha = -i\,m\,\omega_0\,e^{i\,\chi}$ escritura en términos de un segundo positivo real magnitud $m$ con las dimensiones de la masa y arbitraria de fase factor de $\chi$ y donde también hemos definido:

$$a = \left(\begin{array}{ccccc}0&\sqrt{1}&0&0&\cdots\\0&0&\sqrt{2}&0&\cdots\\0&0&0&\sqrt{3}&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{array}\right)$$

y su Hermitian conjugado como el wonted de la escalera de los operadores.

Uno puede muy straighforwardly muestran que nuestro derivados de $\hat{X},\,\hat{P}$ debe tener continua de los espectros. Así que, si queremos cambiar nuestras coordenadas, por lo que trabajamos en la posición de coordenadas, es decir, donde $\hat{X}$ se convierte en la diagonal (multiplicación) operador $\hat{X}f(x) = x f(x)$$f(x)\in \mathcal{H} = \mathbf{L}^2(\mathbb{R}^3)$, entonces se puede argumentar que la que tengo en mi respuesta aquí que hay needfully un sistema de coordenadas en el cual $\hat{X}f(x) = x f(x)$ e $\hat{P} f(x) = -i\,\hbar\,\nabla f(x)$. Así que ahora el Hamiltoniano en estas coordenadas es:

$$\begin{array}{lcl}\hat{H} &=& \hbar\,\omega_0 \left(a^\dagger\,a + \frac{1}{2}I\right) + \left(E_0 - \frac{\hbar\,\omega_0}{2}\right)I\\ &=& \frac{1}{2\,m\,\cos\chi} \hat{P}^2 + \frac{1}{2\,\cos\chi}\,m\,\omega_0^2\,\hat{X}^2 - \frac{\omega_0\,\tan\chi}{2}(\hat{X}\hat{P} + \hat{P}\hat{X}) +\left(E_0 - \frac{\hbar\,\omega_0}{2}\right)I\end{array}$$

de modo que la ecuación de Schrödinger en estas coordenadas es:

$$i\hbar\partial_t \psi = -\frac{1}{2\,m\,\cos\chi} \nabla^2 \psi + \frac{1}{2\,\cos\chi} m\,\omega_0^2 |\vec{x}|^2 \psi + i\,\hbar\,\omega_0\,\tan\chi\,\vec{x}\cdot\nabla \psi + \left(E_0 +i\,\frac{\tan\chi\,\hbar\,\omega_0}{2} - \frac{\hbar\,\omega_0}{2}\right)\psi$$

y más "tradicional" de la ecuación de Schrödinger es recuperado al$\chi = 0$$E_0 = \hbar\,\omega_0/2$:

$$i\hbar\partial_t \psi = -\frac{1}{2\,m} \nabla^2 \psi + \frac{1}{2} m\,\omega_0^2 |\vec{x}|^2 \psi$$

y vemos que debemos tener una ecuación cuadrática potencial. Así que, en resumen, hagamos una lista de los supuestos que llevan a esta conclusión:

1. Separables estado cuántico espacio;
2. Equispaced niveles de energía delimitada de la siguiente;
3. La existencia de Hermitian posición y el impulso observables cumplimiento de los CCR y
4. Las mediciones de las características observables varían sinusoidalmente con el tiempo.

Todavía no he analizado el caso en el que relajar el supuesto de 4. A partir de lo anterior, vemos que equispaced niveles de energía implica variaciones periódicas de las mediciones con el tiempo, y me parece que esta relajación es probable que el rendimiento de una forma mucho más general de potencial en la posición de coordenadas.

Answer 2

Hay, en general, infinitamente muchos operadores con equidistantes autovalores. Supongamos que un auto-adjunto del operador $A$ tiene una finalidad meramente discreta del espectro (es decir, ya sea compacta o con compacto resolvent) y denotan por $\{\lambda_i\}_{i\in\mathbb{I}}$ sus verdaderos valores propios ($I\subseteq \mathbb{N}$): entonces, por el teorema espectral puede ser escrito (en su dominio de definición) como $$A=\sum_{i\in I} \lambda_i P_i$$ where $P_i$ is the orthogonal projector on the eigensubspace corresponding to $\lambda_i$.

Ahora esta igualdad, se lee de derecha a izquierda define el operador $A$, la elección de los valores y la (mutuamente disjuntas) proyecciones ortogonales. Así que jugar con las proyecciones y valores propios que se definen los diferentes operadores, con equidistantes autovalores si quieres. Sin embargo, puede ser necesario probar la resultante operador auto-adjunto en un dominio adecuado (si el operador es ilimitado).

Answer 3

Ha sido un tiempo desde que he hecho la Mecánica Cuántica, sin embargo, su pregunta me recordó a la Teoría Cuántica Supersimétrica. En palabras más simples es un teorema que dice que para cada potencial ( $V(x)$ ), existe una supersymmetic (SUSY) socio potencial ($\tilde{V}(x)$) que tiene la misma forma funcional para los niveles de energía y se diferencian en que hay energías por un cambio. La Mecánica cuántica por Schwabl tiene una sección dedicada a esto (19) y en realidad tienen el Oscilador Armónico como un ejemplo (19.2.3). Sin embargo la respuesta no fue satisfactoria porque la SUSY potenciales que llegaron a ser para él eran... $$V(x) = \frac{1}{2}\omega^2 x^2 -\frac{1}{2}\omega$$ $$\tilde{V}(x) = \frac{1}{2}\omega^2 x^2 +\frac{1}{2}\omega$$ Que son essentailly equivalente debido a la adición de las constantes para un Hamiltoniano sólo cambia la energía. Así que de acuerdo a SUSY QM el Oscilador Armónico sólo puede ser asignado a un Oscilador Armónico con un constante cambio de la energía. No sé si he respondido completamente a tu pregunta, pero espero te sirva de ayuda!