Conjetura: $\lim_{N \to +\infty}\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}\frac{\phi(k)}{k}=\frac{6}{\pi^2}$

Question

Yo estaba jugando con la serie de $f(N)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}\frac{\phi(k)}{k}$ y me encontré con Wolfram que $f(10,000)=0.607938$, lo que noté que estaba muy cerca de la $\frac{6}{\pi^2}$.

Me inclino a hacer el siguiente

Conjetura: $\lim_{N \to +\infty}\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}\frac{\phi(k)}{k}=\frac{6}{\pi^2}$

Bien, es cierto?

Tenga en cuenta que su obvio que la suma está acotada arriba por $1$ (desde $\phi(k)/k<1$), por lo que definitivamente no diverge a infinito. También casi siempre es decreciente. Así que lo más probable es que converge.

Answer 1

La fórmula clave es $$\frac{\phi(n)}{n}=\sum_{d\mid n} \frac{\mu(d)}{d}$$

A partir de este, se obtiene que:

$$\begin{align}f(N)=&\sum_{k=1}^{N}\frac{\phi(k)}{k}\\&=\sum_{k=1}^{N}\sum_{d\mid k} \frac{\mu(d)}{d}\\ &= \sum_{d=1}^{N}\frac{\mu(d)}{d}\left\lfloor\frac N d\right\rfloor\end{align}$$

A continuación, $\left|\left\lfloor\frac N d\right\rfloor - \frac{N}d\right|<1$ $$\left|\frac{f(N)}N-\sum_{d=1}^{N}\frac{\mu(d)}{d^2}\right|<\frac{1}{N}\sum_{d=1}^{N}\frac1{d^2}< \frac{\zeta(2)}{N}$$

Pero sabemos que $$\sum_{d=1}^{\infty}\frac{\mu(d)}{d^2}=\frac{1}{\zeta(2)}=\frac{6}{\pi^2}$$

Answer 2

Aquí empieza:

Es bien sabido que (a,b) = 1 aleatorias a,b con una probabilidad de $6/\pi^2.$ $\phi(k) \sim k \cdot \frac{6}{\pi^2}$ de las grandes de k, y debido a que la densidad de los números primos es igual a cero, por la definición de $\phi(x),$ $$\frac{1}{n}\sum_{n\geq k\geq 1}\frac{\phi(k)}{k}\sim \frac{1}{n}\sum_{n\geq k\geq 1} \frac{6}{\pi^2}=\frac{6}{\pi^2}.$ $ sin Embargo esto no es muy riguroso.