Forma cerrada para $\int_0^{\infty}\frac{\arctan x\ln(1+x^2)}{1+x^2}\sqrt{x}\,dx$

Question

Por favor, ayúdame a encontrar una forma cerrada para esta integral: $$\int_0^{\infty}\frac{\arctan x\ln(1+x^2)}{1+x^2}\sqrt{x}\,dx$$

Answer 1

La integral puede transformarse en una forma "computable". En efecto, $$\begin{align} I&=\int_0^{\infty}\frac{\arctan x\ln(1+x^2)}{1+x^2}\sqrt{x}\,dx=\\ &=2\int_0^{\infty}\frac{\arctan y^2\ln(1+y^4)}{1+y^4}y^2dy=\\ &=\frac{1}{2i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\ln^2(1+iy^2)-\ln^2(1-iy^2)}{1+y^4}y^2dy=\\ &=\frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{1+iy^2}-\frac{1}{1-iy^2}\right)\Bigl(\ln^2(1+iy^2)-\ln^2(1-iy^2)\Bigr)dy=\\ &=\frac12\mathrm{Re}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\ln^2(1+iy^2)-\ln^2(1-iy^2)}{1+iy^2}dy, \end{align}$$ donde los logaritmos se definen en sus hojas principales. Las integrales restantes pueden evaluarse deformando convenientemente los contornos (o utilizando Mathematica). El resultado final es $$I=\frac{\pi}{6\sqrt{2}}\left(12G+9\ln^22+3\pi\ln2+\pi^2\right)\approx 11.7433,$$ donde $G$ denota el Constante catalana .