Determinar si el conjunto de todos eventualmente cero secuencias es $G_\delta $ $\ell_2$

Question

Para la normativa del espacio $\left(\ell^ 2 , \|\cdot\|_2\right) $

Necesito comprobar si el siguiente conjunto es de tipo $ G_\delta $ , $F_\sigma$ :

$$E = \left\{ x \in \ell^2 : \mbox{ there exists } N \ge1 \mbox{ s.t } x_n = 0 \mbox{ for each } n \ge N \right\}.$$

Me las arreglé para probar que este conjunto es $F_\sigma$.

Creo que no es $G_\delta $ pero no estoy seguro de cómo demostrarlo.

Gracias por la ayuda

Answer 1

Completamente revisado y corregido SUGERENCIA: Deje $G=\ell^2\setminus E$. $E$ es una $F_\sigma$, lo $G$$G_\delta$. Por lo tanto, hay conjuntos de $G_n$ $n\in\Bbb N$ tal que $G=\bigcap_{n\in\Bbb N}G_n$.

• Mostrar que $G$ es denso en $\ell^2$, y a la conclusión de que cada una de las $G_n$ es denso en $\ell^2$.

Supongamos que $E$$G_\delta$. A continuación, hay conjuntos de $U_n$ $n\in\Bbb N$ tal que $E=\bigcap_{n\in\Bbb N}U_n$.

• Mostrar que $E$ es denso en $\ell^2$, y a la conclusión de que cada una de las $U_n$ es denso en $\ell^2$.

• Utilice el hecho de que $\{G_n:n\in\Bbb N\}\cup\{U_n:n\in\Bbb N\}$ es una contables de la familia de los densos bloques abiertos en el espacio métrico $\ell^2$ para obtener una contradicción.