Cómo encontrar el valor máximo de $|a_{2}|$?

Question

(Décimo grado de la escuela secundaria de matemáticas de la competencia):Vamos a $$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+a_{4}x^4$$ donde $a_{i}\in \mathbb R$, y que, por $x\in[-1,1]$ hemos $$|f(x)|\le 1$$ Encontrar el máximo de el valor de $|a_{2}|$.

Sé el polinomio de Chebyshev $T_{4}(x)=8x^4-8x^2+1$ verifica la condición.

Pero, ¿cómo demostrar que genera la miró para el máximo ?

Answer 1

Tenga en cuenta que sólo tenemos que considerar $f$ que son, incluso, ya que si $f$ es una cuártica con $|f(x)|\le 1$$-1\le x\le 1$, $e(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ es también una cuártica con $|e(x)|\le 1$$-1\le x\le 1$, e $e$ es regular y tiene el mismo coeficiente de $x^2$$f$.

Como tal, vamos a $f(x) = a_0+a_2x^2+a_4x^4$. A continuación, $f(x) = g(x^2)$ donde $g(x) = a_0+a_2x+a_4x^2$, e $g$ tiene la propiedad de que $|g(x)|\le 1$ $0\le x\le 1$ (desde $-1\le x\le 1\iff 0\le x^2\le 1$). En particular, $|g(x)|\le 1$ $x=0$, $\frac{1}{2}$, y $1$. Ahora $$a_2 = 4\cdot\left(a_0+\frac{a_2}{2} + \frac{a_4}{4}\right) - (a_0+a_2+a_4) -3a_0 = 4g\left(\frac{1}{2}\right) - g(1) - 3g(0)$$ y así $g\left(\frac{1}{2}\right)\le 1$, $g(1)\ge -1$, y $g(0)\ge -1$ implica que $$a_2 \le 4\cdot 1 - (-1) - 3\cdot(-1) = 8.$$ Del mismo modo, $g\left(\frac{1}{2}\right)\ge 1$, $g(1)\le -1$, y $g(0)\le -1$ implica que $a_2 \ge -8$. Por lo tanto, debemos tener $|a_2|\le 8$.

Por el contrario, $g(x) = 8\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-1 = 8x^2-8x+1$ satisface $|g(x)|\le 1$$0\le x\le 1$, y, por tanto, $f(x) = 8x^4-8x^2+1$ satisface $|f(x)|\le 1$$-1\le x\le 1$. Por lo tanto, $8$ es el valor máximo posible de $|a_2|$.

Answer 2

Tenemos que

$$|f(x)+f(-x)|=2|a_{0}+a_{2}x^2+a_{4}x^4|\le |f(x)|+|f(-x)|\le 2,$$ de donde

$$\frac 12|f(x)+f(-x)|\le 1. , Es decir, podemos tener

$$|a_0+a_2x^2+a_4x^4|\le 1.$$ Now, if $p(x)=a_0+a_2x^2+a_4x^4$ satisfies $\|p\|_{\infty}=1$ we have from Remez inequality that $p=\pm T_4$ which gives $|a_2|=8.$

Así, supongamos $0<\|p\|_{\infty}=k<1.$ $$p_k(x)=\frac{a_0}k+\frac{a_2}kx^2+\frac{a_4}kx^4$$ satisfies $\|p_k\|_{\infty}=1.$ That is, $p_k=\pm T_4$ de donde

$$\frac{a_0}k+\frac{a_2}kx^2+\frac{a_4}kx^4=\pm(1-8x^2+8x^4).$$ In particular $$|a_2|= 8k\le 8.$$

Así, hemos demostrado que $8$ es el máximo valor de $|a_2|.$