La incrustación de grupo de manera que dos elementos de la misma para transformarse conjugado

Question

Fijar los siguientes objetos:

$G$= finito grupo,

$x,y$ - los elementos distintos de a $G$ de la misma orden.

P. ¿ Podemos embded $G$ en un finito grupo $G_1$ tal que $x,y$ llegan a ser conjugado en $G_1$?

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Una aplicación de HNN extensión del teorema quizás no considere la posibilidad de integración en finito de grupos para el problema anterior (véase el Teorema 3.3 aquí). Tal vez, simplemente se realiza mediante la adición de un generador de $z$ $G$y definir una relación $z^{-1}xz=y$. Pero no podía asegurar si la incorporación se puede hacer en un número finito de grupo, siempre originales del grupo es también finito.

Answer 1

En realidad, después de pensar un poco más en él, resulta que esto siga de la prueba de Cayley del teorema. Por construcción, la incrustación en el que envía un elemento de orden $m$ a un producto de disjuntas $m$-ciclos (ya que esta es la acción por la izquierda de la traducción), de modo que todos los elementos de la misma para transformarse conjugado.

Answer 2

La respuesta es sí. Como Tobias Kildetoft se indica en los comentarios, en el ordinario de la representación de $G$ todos los no-identidad de los elementos de la ley de punto fijo libremente. Así que los dos elementos de la misma orden de $n$ consiste en la $|G|/n$ ciclos de longitud $n$, y por lo tanto son conjugado en el grupo simétrico de los elementos de $G$.

Más generalmente, si $A$ $B$ son isomorfos subgrupos de un grupo finito $G$ $\phi:A \to B$ es un isomorfismo, entonces usted puede incrustar $G$ en un grupo finito $X$ con un elemento $g \in X$ tal que $g^{-1}ag=\phi(a)$ todos los $a \in A$. Este es un resultado de B. H. Neumann - yo estaba buscando la referencia original, pero me refugio;t encontrado todavía - él escribió varios artículos sobre temas similares.