Una secuencia a_n se define como a_1=1 y a_{n+1}=\sqrt{a_1+a_2+\cdots+a_n} Demuestra que \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{n}=\frac{1}{2}
No tengo ni idea de cómo enfocar esto. Pero tengo la sensación de que el lema de Cesaro puede ser útil
Fácil de mostrar a_{n+1}^2 = a_n^2+a_n como señaló @JimmyK4542.
Porque a_n es creciente, tiene un límite. Supongamos que a_n es convergente a L . Entonces L^2=L^2 + L por lo tanto L=0 absurdo. De ello se desprende a_n es divergente y \lim a_n = +\infty .
Desde (\frac {a_{n+1}} {a_n})^2 = 1 + \frac 1 {a_n} lo siguiente \lim \frac {a_{n+1}} {a_n}=1
También de a_{n+1} - a_n = \frac {a_n} {a_{n+1} + a_n}
tenemos \lim (a_{n+1} - a_n) = \lim \frac {1} {\frac {a_{n+1}} {a_n} + 1} = \frac 1 2
Ahora usa Teorema de Cesaro para concluir.
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Utilizando la recursión, se puede obtener a_{n+1}^2 = a_n^2+a_n . Esto puede o no funcionar, pero se podría demostrar por inducción que n/2-f(n) \le a_n \le n/2+g(n) para algunos f(n),g(n) que son o(n) .
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Yo probaría muchos enfoques diferentes al respecto. Un enfoque es utilizar la desigualdad del triángulo, y luego ver si el resultado de a_{n+1} tener un límite superior ayuda. Por ejemplo, ¿el límite superior / n es convergente? Si es así por la prueba de comparación esto implica a_{n+1}/ n es convergente. Para obtener el límite tendrás que pensar y utilizar uno o varios teoremas y lemas diversos. La regla de L'hopitals también puede valer la pena.