¿Cuál es el resto que queda después de dividir la $1! + 2! + 3! + ... + 100!$$5$?

Question

Tengo esta pregunta como una tarea.

¿Cuál es el resto que queda después de dividir la $1! + 2! + 3! + \cdots + 100!$$5$?

He intentado esto: me di cuenta de que todos los $n! \equiv 0 \pmod{5}$ por cada $n\geq 5$.

Para $n < 5$:

$$\begin{align*} 1! &\equiv 1 \pmod{5} \\ 2! &\equiv 2 \pmod{5} \\ 3! &\equiv 1 \pmod{5} \\ 4! &\equiv 4 \pmod{5} \\ \end{align*}$$

Por lo $1! + 2! + \cdots + 100! \equiv 8 \equiv 3 \pmod{5}$. Por lo tanto el resto es $3$. Estoy pensando correctamente?

Muchas gracias.

Answer 1

Para complementar la otra respuesta en menos teoría-pesado términos, se puede ver como:

$$1! + 2! + 3! + 4! + 5! (1 + 6 + [6 \times 7] + \dots + [6 \times \dots \times 100])$$

El término final es claramente divisible por $5$; tan sólo tenemos que mirar a $1! + 2! + 3! + 4!$, y el resto, como usted lo hizo.

Answer 2

Por el bien de una respuesta:

SÍ. Estás pensando correctamente. Lo que hizo es bueno y correcto.

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Answer 3

Estás en lo correcto.

Observe que la unidad dígito de la suma es $3$, debido a que todos los términos en la suma final con un cero de $5!$ y, por tanto, para encontrar la unidad de dígitos, sólo tenemos que encontrar la unidad dígito de la suma de$1!+2!+3!+4!=33$$3$.

Así, cuando la suma de $1! + 2! + 3! + \cdots + 100!$ se divide por $5$, deja un resto $3$.