Campos que pueden ordenarse de más de una manera

Question

Considere el campo $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$ . Esto puede convertirse en un campo ordenado de dos maneras diferentes:

1. Por el orden habitual $<$ heredado de $\mathbb{R}$
2. O a través de la orden "alternativa $\prec$ definido por $$r\prec s \iff \overline{r} < \overline{s} $$ donde $\overline{r}$ denota el conjugado, es decir $\overline{a+b\sqrt{5}}=a-b\sqrt{5}$ .

En términos más generales, si $F$ es cualquier campo, $\sigma$ un automorfismo de $F$ y $<$ una orden sobre $F$ podemos definir otro orden $\prec$ por $a\prec b \iff \sigma(a) < \sigma(b)$ . Si $(F,<)$ satisface los axiomas para un campo ordenado, que también lo hace $(F,\prec)$ .

Mi pregunta:

¿Hay algún ejemplo de campo $F$ que puede convertirse en un campo ordenado de dos maneras diferentes, donde uno de los órdenes es n inducida a partir de la otra por un automorfismo como el descrito anteriormente?

En otras palabras, estoy buscando un campo que pueda convertirse en un campo ordenado de dos maneras diferentes que sean "realmente diferentes", es decir, no equivalentes hasta un automorfismo del campo subyacente $F$ .

Answer 1

Considere $F=\mathbb{Q}(x)$ . Puede ordenar este campo de innumerables maneras diferentes. Por ejemplo, para cada trascendental $\alpha\in\mathbb{R}$ el isomorfismo $F\to\mathbb{Q}(\alpha)\subset\mathbb{R}$ enviando $x$ à $\alpha$ induce una ordenación de $F$ y este orden es diferente para cada $\alpha$ . Desde $F$ sólo tiene un número contable de automorfismos (un automorfismo viene determinado por el lugar al que envía a $x$ ), estos dan incontables ordenaciones que no están relacionadas por automorfismos.

Answer 2

He aquí un ejemplo más pequeño: dejemos que $f$ sea un polinomio cuártico irreducible con cuatro raíces reales. Si $\alpha$ es cualquier raíz de $f$ entonces $\mathbb{Q}(\alpha)$ pueden ordenarse de cuatro maneras diferentes, correspondientes a las cuatro incrustaciones reales de $\alpha$

Sin embargo, la mayoría de estos polinomios $f$ tendrá grupo de Galois $A_4$ y $\mathbb{Q}(\alpha)$ no tendrá ningún automorfismo.

Answer 3

Tras leer las excelentes respuestas de Eric Worfsey y Hurkyl Me he dado cuenta de que ya conocía otra respuesta a mi propia pregunta, que se me había escapado cuando la formulé, pero creo que merece la pena publicarla aquí.

Sea $F=\mathbb{Q}(x)$ . Cualquier elemento de $F$ puede escribirse de la forma $$f=\frac{a_n x^n + \cdots +a_0}{b_m x^m + \cdots +b_0}$$ con $a_n, b_m \ne 0$ y donde todos los coeficientes son enteros. Sea $P \subset F$ definirse por la condición $f\in P \iff \frac{a_n}{b_m}> 0$ y defina $f \prec g \iff g-f \in P$ . Entonces $(F, \prec)$ es un campo ordenado.

Ahora contraste este orden con el orden en $F$ propuesto por Eric Worfsey: en ese orden, simplemente se elige un número real trascendental $\alpha$ Mapas $x \mapsto \alpha$ y utiliza el orden $<$ heredado de los reales.

Estas dos órdenes son "realmente diferentes". La orden $<$ obtenida mediante la asignación de $x \mapsto \alpha$ incrusta $\mathbb{Q}(x)$ como un subcampo ordenado de $\mathbb{R}$ pero con respecto al orden $\prec$ el campo $\mathbb{Q}(x)$ es no arquimediano . En concreto, para todos los $q \in \mathbb{Q}^+$ tenemos $q \prec x$ y $0 \prec \frac{1}{x} \prec q$ en otras palabras, $x$ es "infinito" y $\frac{1}{x}$ es "infinitesimal" con respecto a los racionales en este orden.

Answer 4

Edit: Esta respuesta es incorrecta, pero la dejo temporalmente por si se puede arreglar.

Aunque las otras respuestas proporcionan ordenaciones que no pueden transformarse unas en otras mediante automorfismos de campo, también cabe preguntarse si las ordenaciones podrían transformarse unas en otras mediante cualquier isomorfismo de orden, preservador de campo o no.

Ahora bien, cualquier campo ordenado es un orden lineal denso sin puntos finales. Un orden lineal denso contable sin puntos finales es isomorfo a $\mathbb Q$ . Así que (en el momento de escribir esto) todas las respuestas existentes, al ser contables, son de orden isomórfico. (Obsérvese, en particular, que la propiedad arquimediana depende de la estructura de campo así como de la estructura de orden, por lo que no es necesario que la preserven los isomorfismos generales de orden).

Eso es suficiente para satisfacer la pregunta original, pero ¿podemos tener dos pedidos en el mismo campo con distintos tipos de pedido?

Podemos responder a esta pregunta con una variación del $\mathbb Q(\alpha)$ ejemplo. Podemos elegir números trascendentales $\alpha_i$ tal que $\mathbb R = \mathbb Q(\alpha_i : i \in I)$ donde $|I|$ es el grado de trascendencia de $\mathbb R$ en $\mathbb Q$ .

A continuación, podemos pedir $\mathbb Q(x_i : i \in I)$ polinomios sobre $\mathbb Q$ en $|I|$ -muchas variables, mediante la asignación $x_i$ à $\alpha_i$ para cada $i$ . El resultado será de orden isomorfo a $\mathbb R$ Por supuesto.

Pero también podemos asignar $x_i$ à $\alpha_{f(i)}$ donde $f : I \to I$ es una función inyectiva no subjetiva. Entonces el resultado será isomorfo en orden a $\mathbb R$ con algunos "agujeros", a falta de algunos números trascendentales. Es importante destacar que, a diferencia del caso contable, la ordenación puede "detectar" esta eliminación, porque $\mathbb R$ -con-agujeros no es completa: hay conjuntos acotados por encima pero sin supremum. (En el caso contable ya había tantos agujeros que un par más no supondrían ninguna diferencia).

Por lo tanto, los polinomios sobre $\mathbb Q$ con un número suficiente de incógnitas pueden ordenarse no sólo de tal manera que los automorfismos de campo no puedan transformar un ordenamiento en el otro, sino que los ordenamientos en realidad tienen diferentes tipos de orden.