La ecuación de Schrödinger es la base para la comprensión de la mecánica cuántica, pero ¿cómo se puede derivar de ella? Le pregunté a mi instructor, pero él me dijo que venía de la experiencia de Schrödinger y sus experimentos. Mi pregunta es, se puede derivar la ecuación de Schrödinger matemáticamente?
Respuestas
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Ser conscientes de que un "matemático derivación" de un principio físico es, en general, no es posible. Las matemáticas no preocupación en el mundo real, tenemos siempre necesidad empírica de entrada para decidir cual matemáticos de los marcos se corresponden con el mundo real.
Sin embargo, la ecuación de Schrödinger se puede ver que surge naturalmente de la mecánica clásica a través del proceso de cuantización. Más precisamente, podemos motivar a la mecánica cuántica de la mecánica clásica puramente a través de la Mentira de la teoría, como se discute aquí, dando lugar a la cuantización de la prescripción
$$ \{\dot{},\dot{}\} \mapsto \frac{1}{\mathrm{i}\manejadores}[\dot{},\dot{}]$$
para el clásico de Poisson soporte. Ahora, el clásico de la evolución de las características observables en el espacio de fase es
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f = \{f,H\} + \partial_t f$$
y por lo que su cuantificación es el operador de la ecuación
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f = \frac{\mathrm{i}}{\manejadores}[H,f] + \partial_t f$$
que es la ecuación de movimiento en la imagen de Heisenberg. Desde el Heisenberg y Schrödinger imagen se unitarily equivalentes, esto es una "derivación" de la ecuación de Schrödinger de la clásica fase de espacio de la mecánica.
Phonon
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2895
Un pequeño aporte a ACuriousMind la gran respuesta, en respuesta a algunos de los comentarios pidiendo una derivación de la ecuación de onda de Schrödinger, utilizando los resultados de Feynman de la ruta integral de formalismo:
(Nota: no todos los pasos se pueden incluir aquí, sería demasiado largo para permanecer en el contexto de un foro-debate-respuesta.)
En la ruta integral de formalismo, de cada ruta se atribuye una función de onda de $\Phi[x(t)]$, que contribuye a la total amplitud, de digamos, para ir de $a$ a $b.$ El $\Phi$'s tienen la misma magnitud pero tienen diferentes fases, que está dado por la acción clásica de $S$ como se define en el Lagrangiano formalismo de la mecánica clásica. Hasta el momento tenemos: $$ S[x(t)]= \int_{t_a}^{t_b L} (\dot{x},x,t) dt $$ y $$\Phi[x(t)]=e^{i/\manejadores) S[x(t)]}$$
Denota la total amplitud de $K(a,b)$, dada por: $$K(a,b) = \sum_{caminos-a-a-b}\Phi[x(t)]$$
La idea al planteamiento de la ecuación de onda, que describe la wavefunctions como una función del tiempo, debemos empezar por dividir el intervalo de tiempo entre $a$y$b$ en $N$ de pequeños intervalos de longitud $\epsilon$, y para una mejor notación, vamos a usar $x_k$ para un determinado camino entre $a$y$b$, y denotan la plena amplitud, incluyendo su tiempo de dependencia, como $\psi(x_k,t)$ ($x_k$ tomado más de una región $R$):
$$\psi(x_k,t)=\lim_{\epsilon \to 0} \int_{R} \exp\left[\frac{i}{\manejadores}\sum_{i=-\infty}^{+\infty} (x_{i+1},x_i)\right]\frac{dx_{k-1}}{A} \frac{dx_{k-2}}{A}... \frac{dx_{k+1}}{A} \frac{dx_{k+2}}{A}... $$
Ahora, considere la ecuación anterior, si queremos saber la amplitud en el siguiente instante de tiempo, $t+\epsilon$:
$$\psi(x_{k+1},t+\epsilon)=\int_{R} \exp\left[\frac{i}{\manejadores}\sum_{i=-\infty}^{k} (x_{i+1},x_i)\right]\frac{dx_{k}}{A} \frac{dx_{k-1}}{A}... $$
El de arriba es similar a la ecuación anterior, la diferencia basándose en la sugerencia de que, el factor de valor añadido con $\exp(i/\manejadores)S(x_{k+1},x_k)$ no se recurra a ninguno de los términos de $x_i$ antes $i<k$, por lo que la integración se puede hacer con todos los términos de factor. Todo esto reduce la última ecuación:
$$\psi(x_{k+1},t+\epsilon)=\int_{R} \exp\left[\frac{i}{\manejadores}\sum_{i=-\infty}^{k} (x_{i+1},x_i)\right]\psi(x_k,t)\frac{dx_{k}}{A}$$
Ahora una cita de Feynman del papel original, en relación con las anteriores resultado:
Esta relación, dando el desarrollo de la $\psi$ con el tiempo será se muestra, para ejemplos sencillos, con una adecuada elección de $A$, a ser equivalente a la ecuación de Schroedinger. En realidad, la ecuación anterior se no es exacto, pero es cierto sólo en el límite de $\epsilon \to 0$ y vamos a derivar la ecuación de Schroedinger, asumiendo esta ecuación es válida a primer orden en $\epsilon$. Los anteriores necesitan ser verdad sólo para los pequeños $\epsilon$ para el primer pedido en $\epsilon.$
En su papel original, siguiendo los cálculos para las 2 páginas más, desde donde dejamos las cosas, y él, a continuación, muestra que:
Cancelación de $\psi(x,t)$ de ambos lados, y la comparación de términos a primera orden en $\epsilon$ y multiplicando por $-\manejadores/i$ se obtiene
$$-\frac{\manejadores}{i}\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{1}{2m}\left(\frac{\manejadores}{i}\frac{\partial}{\partial x}\right)^2 \psi + V(x) \psi$$, que es la ecuación de Schroedinger.
Yo le animamos a leer el original en papel, no te preocupes que está muy bien escrito y fácil de leer.
Referencias: El espacio-Tiempo de Aproximación a la Mecánica Cuántica No Relativista por el R. P. Feynman, en abril de 1948.
Feynman Ruta de las Integrales en la Mecánica Cuántica, por Christian Egli
docscience
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RichieACC
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Leyes fundamentales de la física no pueden ser derivados (tortugas todo el camino hacia abajo y todo eso).
Sin embargo, pueden estar motivados en diversas formas. La evidencia experimental directa de lado, se puede argumentar por analogía - en el caso de la ecuación de Schrödinger, las comparaciones con Hamiltoniana de la mecánica y la de Hamilton-Jacobi ecuación de la dinámica de fluidos, el movimiento Browniano y la óptica se han hecho.
Otro enfoque es argumentando matemáticos "belleza" o el estado de necesidad: Se puede ver en varias formas para modelar el sistema y vaya con el método más elegante consistente con las restricciones que impone (es decir, el razonamiento en la vena de "la mecánica cuántica es la única manera de hacer X' para 'natural' o experimentalmente valores de X).
Jeroen Dirks
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En Matemáticas derivar teoremas a partir de axiomas y los teoremas.
En Física se derivan de las leyes y los modelos de las leyes existentes, los modelos y las observaciones.
En este caso se puede comenzar a partir de las observaciones en el efecto fotoeléctrico para obtener la relación entre la energía del fotón y la frecuencia. A continuación, continuar con la relatividad especial, donde se observó que la velocidad de la luz es constante en todos los marcos de referencia. A partir de este cuando la generalización de la energía cinética podemos obtener la masa de energía de equivalencia. La combinación de los dos podemos asignar la masa del fotón, por consiguiente, podemos lograr el impulso de un fotón como función del número de onda.
La generalización de la energía-frecuencia y el impulso del número de onda relación que tiene el De-Broglie relaciones. Que es aplicable a cualquier partículas.
Suponiendo que una partícula tiene 0 energía cuando se encuentra todavía (puede hacerlo), aunque no causa demasiados problemas si se deja el término constante allí, en las fases posteriores puede simplemente poner en el lado izquierdo de la ecuación. Podemos ocuparnos de la energía cinética. La sustitución de la no-relativista cinética en la relación y la reordenación de que podamos tener la siguiente relación de dispersión:
$$\omega = \frac{\manejadores k^2}{2m}$$
La ecuación de onda puede ser derivado de la relación de dispersión de la materia ondas utilizando el camino que he mencionado en la respuesta.
En este caso vamos a necesitar el laplaciano y a la primera derivada:
$$\nabla^2 \Psi + \partial_t \Psi = -k^2\Psi - \frac{i \manejadores k^2}{2m}\Psi$$
Multiplicando el tiempo derivativo con $-\frac{2m}{i\manejadores}$, se puede poner a cero el lado derecho:
$$\nabla^2 \Psi - \frac{2m}{i\manejadores} \partial_t \Psi = -k^2\Psi + k^2\Psi = 0$$
Podemos reordenar para obtener la ecuación de schrödinger dependiente del tiempo de una partícula libre:
$$ \partial_t \Psi = \frac{i\manejadores}{2m} \nabla^2 \Psi$$
