¿Por qué el conjunto de Mandelbrot aparecen al utilizar el método de Newton para hallar la inversa de a $\tan(z)$
Específicamente para la ecuación de $y = \tan(z)$ I utilice el método de Newton ($20$ iteraciones) para solucionar $0 = \tan(y) - z$ $y$ donde $y_0 = \tan(z)$ (
$y_0$ no parecer importante en este caso, tanto la $0$ $z$ trabajóLa resolución realidad era demasiado baja para ver las diferencias en la imagen original. $y_0 = 0$ produce los mejores resultados). Yo no esperaba que esto convergen para la mayoría de las $z$, pero ¿por qué hay conjunto de Mandelbrot en forma de regiones que hizo converger?Aquí están los resultados:
Para ser un poco más explícito:
$f(y) = \tan(y)-z$ donde $z$ es el punto en el plano complejo me estoy encontrando una relación inversa en el $y = \tan(z)$.
La función de yo soy la iteración por newtons método es
$$y_{n+1} = y_n - \frac{f(y_n)}{f'(y_n)} = y_n - (\sin(y_n)\cos(y_n)-z\cos^2(y_n))~~~\text{with}~~~y_0 = 0$$
Aquí está una imagen más clara, junto con una imagen generada con la ecuación regular para el conjunto de Mandelbrot, cada uno con 100 iteraciones.
El $y_{n+1}$ ecuación anterior:
El conjunto de Mandelbrot, $y_{n+1} = y_{n}^2 + z$:
Dibujos para colorear: Para que los colores que el resultado de cada uno de recursividad, $y_{100}$, y convertir a HSV colores como $H=-\arg(y_{100})+\pi$, $S=1$, $V=\frac{1}{\ln(c|y_{100}| +e)}$, que luego son convertidas a RGB. $c$ fue una constante, creo $c=0.1$ en las imágenes de arriba.
Esencialmente esto es de dominio para colorear con cian indicando el eje real positivo, rojo, que indica el eje real negativo, amarillo/verde, que indica el positivo del eje imaginario, y púrpura indica el negativo del eje imaginario. El negro indica el número fue hasta el infinito, o fue indeterminado.
Usted notará que el signo de mi recursividad parece haber volteado desde la primera imagen. No estoy muy seguro de cuál es la causa de que es, pero la distribución de signo negativo en mi recursividad así
$$y_{n+1} = y_n - \sin(y_n)\cos(y_n)+z\cos^2(y_n)$$
parece resolver el problema.
Independientemente de ello, es evidente que los números que resultan de mi recursividad son grandes, mientras que los números que resultan de la Mandelbrot recursividad son pequeños.
Parece que los fractales se producen donde $z\approx m\pi$ donde $m$ es un número entero (además de a $0$).
He encontrado algo más interesante. Si se altera la recursividad que da el conjunto de Mandelbrot a ser$y_{n+1} = y_{n}^2 - m\pi(z-m\pi)$, entonces el conjunto de mandelbrot aparece en el sitio exacto como en la otra ecuación, y es del mismo tamaño! Realmente me gustaría saber por qué.
Aquí es un ejemplo
Mi $y_{n+1}$ ecuación:
Modificado Mandelbrot ecuación, $y_{n+1} = y_{n}^2 - m\pi(z-m\pi)$, $m=-1$:
Estrechamente ampliada en la que usted puede ver las formas de las dos fractales no son exactamente lo mismo (a menos que eso sea un error numérico). Aún así, la similitud es asombrosa.
En una inspección más exhaustiva el conjunto de Mandelbrot (o algo parecido) aparece en muchos más lugares en este fractal de lo que yo pensaba inicialmente. Sólo el zoom alrededor puedo ver un montón de ellos.
Aparecen en todos los ejes están saliendo de la zona de colores alrededor de $z=0$ (el centro de la imagen original).
En la parte superior izquierda de la gran globo anaranjado por encima de la establecida en la imagen anterior:
Y usted podría haber visto en las primeras imágenes, pero la pone en el eje real no sólo en $m\pi$. El más grande de la izquierda es el de la $-\pi$. El del centro es en torno $2.12$, pero se nota que hay un montón de otros más pequeños como usted se mueve a la derecha.
Realmente parece que la Mandelbrot-al igual que los conjuntos aparecen para
$$y_{n+1} = y_n - \sin(y_n)\cos^m(y_n)+z^s\cos^t(y_n)$$
Donde $m,s,t$ son cero enteros.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El resumen del trabajo El conjunto de Mandelbrot es universal por McMullen es:
Nos muestran pequeños conjuntos de Mandelbrot son densos en la bifurcación de legitimación para cualquier holomorphic de la familia de racional de los mapas.
Esto es una indicación de lo que puede estar pasando, incluso si el mapa no es racional mapa.
Vamos a considerar los dos diferentes iterativa de las ecuaciones en juego aquí. La primera es (hacer la notación paralelo),
$$z_{n+1}=z_n-\sin(z_n) \cdot \cos(z_n)+c_1 \cdot \cos(z_n)^2$$
La segunda es,
$$z_{n+1}=c_1 \cdot z_n^2+c_2$$
Si dibujamos un diagrama de telaraña para ambos de estos en la línea real de $-c_1=c_2=-\pi \ $ de esta,
Desde el primer gráfico es periódica con respecto a la dinámica de la línea, vemos que la relación de recursividad para la primera ecuación siempre aproximado de la dinámica de esta segunda relación de recursividad. Esencialmente tenemos una parábola de la forma que se repite periódicamente y trampas dinámica para finito de regiones. De hecho, para cualquier $-c_1=c_2=\pi \cdot n$ tendrá esta aproximación. Esto puede ser demostrado por la expansión de Taylor acerca de la $z=\pi \cdot n$. Para el caso de $c_1=c_2=0$, lo que pasa es que la parábola aproximación se convierte en una línea plana.
También se le preguntó acerca de la relación de recurrencia dada por,
$$z_{n+1}=z_n^2-m\pi \cdot (z-m\pi)=z_n+c$$ $$\Rightarrow c=-m\pi \cdot (z-m\pi)$$ $$\Rightarrow z=m\pi-\cfrac{c}{m\pi}$$
Por lo tanto, en relación a la norma el conjunto de Mandelbrot, este conjunto de Mandelbrot es el mismo hasta una escala de $c$ constante. Así, por $m=-1$, el espacio para el conjunto de Mandelbrot se traducirá $\pi$ a la izquierda, y será reducido por $\pi$.
La única cosa que queda por hacer es comprobar que el Conjunto de Mandelbrot para $z_{n+1}=c_1 \cdot z_{n}^2+c_2$ se ve como el Conjunto de Mandelbrot para $z_{n+1}=z_n^2+c_1 \cdot (c_2+c_1)$ para los valores apropiados. Tenemos,
En un cuadrado centrado en el origen con lado de longitud 2. Se ve como el Conjunto de Mandelbrot, estamos en el negocio. Donde estoy asumiendo que es más intuitivamente claro por qué este conjunto es similar en apariencia a la del Conjunto de Mandelbrot. Si usted tiene alguna otra pregunta no dude en preguntar!
