Deje $C^0$ ser el conjunto de todos (edición: limitada) funciones continuas de $\mathbb R \to \mathbb R$ con el sup norma. A continuación, un "camino" en $C^0$ es una función continua $f \colon [0,1] \to C^0$. La cuestión se reduce a si hay un camino (o la deformación continua) que transforma cualquier delimitada función continua en otro.
Respuestas
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Basta con encontrar una ruta de acceso a la 0 de la función de cualquier otra función continua.
Deje $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ser cualquier función continua y definir $F(x,t) = tf(x)$. Suponiendo que podemos probar esto es, de hecho, continua, tenga en cuenta que $F(x,1) = f(x)$ $F(x,0)$ $0$ función.
Así que, ¿por qué es continua? Deje $\epsilon > 0$. Deje $K = \sup|f(x)|$ Elija $\delta > 0 $ tal que $\delta K < \epsilon$.
Entonces, tenemos $|t_1 - t_2| < \delta$ implica $|t_1f(x) - t_2 f(x)| = |(t_1 - t_2)f(x)| \leq \delta K = \epsilon$, por lo que este mapa es continua (de hecho, uniformemente continua).
Rob Lachlan
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Cualquier espacio vectorial real $V$, con una "razonable" la topología de la ruta de acceso conectado. Dado un vector $v_1\in V$ mover a lo largo de la línea se extendió por $v_1$ $0$y desde allí desplazarse a cualquier otro vector $v_2$ que se mueve a lo largo de le línea se extendió por ella.
Razonable significa que para cualquier $w\in V$ siempre $U\ni w$ debe contener un abrir segmento de alrededor de $v$ de la línea se extendió por $w$, lo que es cierto para el caso bajo consideración (topología bajo el sup norma).
E. g. $L^2({\Bbb R})$ es razonable! $$ \left(\int_{\Bbb R}(f-tf)^2dx\right)^{1/2}=|1-t|\left(\int_{\Bbb R}f^2dx\right)^{1/2} $$ se pone tan cerca como sea necesario para el 0 $t\to1$.
cjstehno
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Creo que vale la pena desarrollar un poco más Akhil interesante comentario.
1. Si en lugar de ${\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, que tome ${\cal C}^0([a,b], \mathbb{R})$ donde $[a,b] \subset \mathbb{R}$ es un intervalo compacto, entonces algo interesante sucede: usted puede dar a ${\cal C}^0([a,b], \mathbb{R})$ el compacto-abierta de la topología, y esta topología coincide con la inducida por el sup norma (también se llama la topología de la convergencia uniforme). Más en general, el mismo es cierto para ${\cal C}^0 (X , Y)$ donde $X$ es cualquier topológicos compactos espacio y $Y$ cualquier espacio métrico.
2. Ahora, por razones psicológicas, vamos a utilizar la notación $Y^X$ en lugar de ${\cal C}^0 (X , Y) $, y vamos a $X$, $Y$ ser cualquier par de espacios topológicos. Poner el compacto-abierta la topología en $Y^X$ y deje $Z$ ser un tercer espacio topológico. Para cada mapa de $F: X\times Z \longrightarrow Y$ puede asociar el mapa de $\Phi (F) : Z \longrightarrow Y^X$ definido por
$$ (\Phi (F) (z)) (x)= F(x,z) \ . $$
Recíprocamente, a cada mapa de $\gamma : Z \longrightarrow Y^X$ puede asociar el mapa de $\Psi (\gamma ): X \times Z \longrightarrow Y$ definido por
$$ \Psi (\gamma) (x,z) = (\gamma (z)) (x) \ . $$
Usted puede comprobar fácilmente que $\Phi$ $\Psi$ son inversos el uno el uno al otro. Por otra parte, si $F$ es continua, por lo que es $\Phi (F)$. Si $X$ es localmente compacto Hausdorff espacio, lo mismo es cierto para $\Psi$: $\gamma$ continua implica $\Psi (\gamma )$ continuo. (Ver Munkres' "Topología", teorema de 46.11.)
Así, al $X$ es localmente compacto Hausdorff espacio, usted tiene bijections, inversas una de la otra:
$$ \Phi : Y^{X \times Z} \longrightarrow (Y^X)^Z \qquad \text{y} \qquad \Psi: (Y^X)^Z \longrightarrow Y^{X \times Z} $$
Por ejemplo,$Z = I$, la unidad de intervalo. Este bijection nos dice que, cuando se $X$ es localmente compacto Hausdorff espacio, rutas de $\gamma : I \longrightarrow Y^X$ y homotopies $F : X \times I \longrightarrow Y$ son los mismos.
3. Fácil topológico ejercicio: cualquier mapa de $f: X \longrightarrow Y$ es homotópica a una constante mapa y toda la constante mapas son homotópica, ya sea si
- $X$ es contráctil y $Y$ es la ruta de acceso conectado, o
- $Y$ es contráctil.
Así que, volviendo a su situación, le podía haber dicho que ${\cal C}^0 (\mathbb{R}, \mathbb{R})$, con el compacto-abierta la topología, es siempre trayectoria-conectado porque $X = \mathbb{R}$ es localmente compacto Hausdorff y contráctil, y $Y= \mathbb{R}$ es el camino-conectado (o debido a $X=\mathbb{R}$ es localmente compacto y Hausdorff y $Y= \mathbb{R}$ es contráctil).
(Observe que Jason ha utilizado la segunda posibilidad: la de que él ha construido una homotopy de la función constante $0$$f$. Se podría utilizar la primera: $F(x,t) = f(xt)$ es un homotopy de la función constante $f(0)$$f$.)
Por supuesto, Jason solución es más sencilla y no necesita todo esto primaria de la maquinaria de punto-conjunto de topología. Pero ahora podemos decir que también en otros espacios de funciones, con el compacto-abierta la topología de ruta-conectados: cada vez que se toma como $X$ localmente compacto Hausdorff espacio y cualquiera de los dos anteriores posibilidades, ${\cal C}^0(X,Y)$ es la ruta de acceso conectado. Por ejemplo,
$$ {\cal C}^0(\mathbb{R}, Y) ,\ {\cal C}^0([a,b],Y) , \ {\cal C}^0(\mathbb{R}^n,Y) ,\ {\cal C}^0(D^2,Y) \dots $$
para cualquier trayectoria-conectado espacio de $Y$, están trayectoria-conectado. También
$$ {\cal C}^0(X,\mathbb{R}) , \ {\cal C}^0(X, [a,b]) , \ {\cal C}^0(X,\mathbb{R}^n) ,\ {\cal C}^0(X,D^2) \dots $$
para cualquier localmente compacto Hausdorff espacio de $X$, están trayectoria-conectado.
