Cómo justificar la aproximación de un ángulo pequeño para el coseno

Question

Todo el mundo conoce la imagen que explica instantáneamente la aproximación del pequeño ángulo a la función seno (definida por la parametrización del círculo unitario): "¿cuál es la longitud de ese arco?" "¿Ves cómo para los ángulos pequeños, forma el lado opuesto de un triángulo...?"

El coseno es más problemático; la anotación correspondiente en Wikipedia al diagrama mencionado anteriormente lee:

H y A tienen casi la misma longitud, lo que significa que $ \cos ( \theta )$ está cerca de $1$ y $ \frac { \theta ^2}{2}$ ayuda a recortar el rojo

Para el programa de estudios que enseño, los estudiantes deben ser capaces de diferenciar el seno y el coseno de los primeros principios usando las aproximaciones anteriores. Y ciertamente no lo hacen necesita a entender las aproximaciones; pero estaría bien, ¿no?

Ahora todo el mundo sabe también que la aproximación de pequeños ángulos para $ \cos $ es sólo el truncado ( $O( \theta ^3)$ ) La serie de Taylor, y es bastante fácil ver que para los pequeños $ \theta $ :

$$ \cos ( \theta )= \sqrt {1- \sin ^2( \theta )} \approx \sqrt {1- \theta ^2}$$

que $ \approx 1- \frac { \theta ^2}{2}$ por la expansión del binomio para $ \sqrt {1-x}$

...pero mis estudiantes no conocen las series de Taylor o las expansiones del binomio.

Pregunta: ¿Puede uno hacerlo mejor?

Answer 1

Puedes utilizar la fórmula del ángulo doble:

$$1 - \cos 2\theta = 2 \sin^2 \theta \sim 2\theta^2$$ y así

$$ \cos \theta \sim 1 - \frac{\theta^2}{2}$$

o pedirles que demuestren que

$$\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$$

Answer 2

Una forma de evitar la expansión binomial, es observar que para pequeñas $x$ , $$ 1-\sqrt{1-x}=\left(1-\sqrt{1-x}\right)\frac{1+\sqrt{1-x}}{1+\sqrt{1-x}}=\frac{1-(1-x)}{1+\sqrt{1-x}}=\frac{x}{1+\sqrt{1-x}}\approx\frac{x}{2} $$ Por lo tanto, $$ \sqrt{1-x}\approx1-\frac{x}{2} $$ Así, para las pequeñas $\theta$ , $\cos(\theta)=\sqrt{1-\sin^2(\theta)}\approx1-\dfrac{\sin^2(\theta)}{2}\approx1-\dfrac{\theta^2}{2}$ .

Para terminar, puedes usar ese $\displaystyle\lim_{\theta\to0}\frac{\sin(\theta)}{\theta}=1$ .

Publicar script: Se ha preguntado si se trata de una sobreestimación o subestimación.

Para $x\ge0$ , $\sqrt{1-x}\le1$ , por lo que tenemos $$ 1-\sqrt{1-x}=\frac{x}{1+\sqrt{1-x}}\ge\frac{x}{2} $$ Por lo tanto, $$ \sqrt{1-x}\le1-\frac{x}{2} $$ Además, $\sin(\theta)\le\theta$ .

Así, para las pequeñas $\theta$ , $\cos(\theta)=\sqrt{1-\sin^2(\theta)}\le1-\dfrac{\sin^2(\theta)}{2}\ge1-\dfrac{\theta^2}{2}$ . Esto hace que sea difícil determinar que $\cos(\theta)\ge1-\dfrac{\theta^2}{2}$ .

Answer 3

¿Sus alumnos conocen los teoremas de la suma? $\cos(\theta) = \cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2) = 1 - 2 \sin^2(\theta/2)$ . Ahora bien, si $\sin(\theta/2) \approx \theta/2$ , se obtiene inmediatamente $\cos(\theta) \approx 1-\theta^2/2$ .