¿Existe homeomorphism sin puntos fijos?

Question

¿Existe un homeomorphism de la unidad de disco con dos agujeros $$\left\{(x,y):x^2+y^2 \le 1\right\} \setminus \left (\left \{(x,y):\left(x+ \frac 1 2 \right)^2+y^2 < \frac 1 {10} \right \} \bigcup \left \{(x,y):\left(x-\frac 1 2 \right)^2+y^2 < \frac 1 {10}\right\}\right)$$ en sí mismo, sin ningún punto fijo?

Answer 1

Sí. Su espacio es homeomórficos a la unidad estándar de la esfera $S^2\subseteq\mathbb R^3$ con tres discos eliminado. Estos discos pueden ser elegidos de modo que la rotación de $\mathbb R^3$ $\frac{2\pi}3$ alrededor de algún eje cíclicamente permutes ellos. Este giro, sin embargo, tiene dos puntos fijos, donde el eje de rotación se cruza con $S^2$. Lo componen con una reflexión en el plano perpendicular a su eje y listo. (Los discos pueden ser elegidos de forma que esta reflexión conserva.)