Cuántos números enteros positivos son los factores de un número dado?

Question

He estado tratando de encontrar / generar una fórmula para el siguiente problema:

• Dado un número, ¿cuántos números enteros positivos son los factores de este número.

En la práctica, se podría construir una tabla como tal (vamos a suponer que el número es 36):

1 | 36
2 | 18
3 | 12
4 | 9
6 | 6

Por lo tanto, hay 9 números enteros positivos que son factores a 36.

Este método parece que sería gravar si el número era muy grande. Así que estaba pensando que si sabía la factorización prima de un número como $\,2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36, \,$ no debería ser una fórmula para el número de combinaciones únicas que se pueden multiplicar estos factores primos juntos. Que es donde estoy atascado. Gracias de antemano!

Answer 1

Sugerencia: si la factorización prima de $\,n\in\Bbb N\,$ es

$$n=\prod_{k=1}^rp_k^{a_k}$$

a continuación, el número de divisores de a $\,n\,$ es

$$\prod_{k=1}^r(a_k+1)$$

Answer 2

Considere esto: Cada entero positivo tiene un único primer factorización, por lo que la elección de los números enteros es la misma que la elección de primer factorisations. Un primer factorización divide a otro primer factorización si y sólo si los exponentes de cada una de las prime en que los primeros son menos que o igual a la de sus homólogos en el último.

Por lo que el número de divisores es el número de maneras de elegir los exponentes para satisfacer esa condición. Para cada uno de los prime $p^a$, puedo elegir cualquier exponente entre el $0$ $a$ incluido – que $a + 1$ opciones. Así que, en conclusión: si \[n = \prod_{k = 1}^{N} p_k^{a_k}\] \[\mathrm{\#factores}(n) = \prod_{k = 1}^N (a_k + 1)\]

Answer 3

Junto con todas las demás respuestas aquí, también quiero de una forma más visual, intuitivo (al menos para mí) explicación.

Considerar el número de cuya descomposición en factores primos es: $$2(3^2)5$$

Como otros han demostrado, usted necesita para encontrar los factores de este número consiste en encontrar el número de maneras en que los factores primos de este número se pueden combinar. Es una manera de ver cada una de las posibles exponente de un primer factor como un posible evento y construir un árbol. Pensé que sería difícil decir exactamente, así es abajo es una imagen para describir el proceso.

http://i.stack.imgur.com/3ewkN.jpg

Buscando en la que se puede ver que el número total de 'eventos' es el producto de todos los eventos posibles para cada número - que es su exponente + 1 en la descomposición en factores primos. En el ejemplo de arriba es (1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 12.

Una vez que usted tiene la intuición detrás de ella, la definición formal se siente mucho más accesible, al menos para mí. Espero que ayude!

Answer 4

Digamos que usted tiene un número n. Deje $n=\ p_1^r.p_2^m.p_3^n$, entonces el número de factores positivos es (r+1)(m+1)(n+1). (No sé cómo hacer $r_1,r_2$ en el exponente, por lo que utiliza r,m,n. En su caso, de 36=$2^2.3^3$, por lo que (2+1)(2+1)=9.

Answer 5

Voy a explicar esto con la ayuda de un ejemplo. Deje que el número 630. Ahora la factorización prima de $630 = 2^1 × 3^2 × 5^1 × 7^1$. Cualquier factor que es una combinación de uno o más números con su potencia que van de 0 a máximo.

Para el 2 , el poder puede ser 0 o 1 es decir, de 2 maneras. Para el 3 , el poder puede ser 0 o 1 o 2, es decir, de 3 maneras. Para el 5, el poder puede ser 0 o 1 es decir, de las 2 maneras Para el 7 , el mismo que 5 es decir, de 2 maneras.

Ahora, si sabes lo basico de la permutación y combinación, el número de maneras en que podemos seleccionar cualquier potencia de la anterior descomposición en factores primos es

2×3×2×2 = 24.

Por lo tanto 630 24 factores.

Ahora la fórmula se Deje $N = (A^r)×(B^m)×(C^n)$ donde a,B,C son los factores primos de N, entonces el número total de los factores positivos de N está dada por (r+1)(m+1)(n+1).