Aquí es un poco de un perro desayuno condiciones y cositas para ir con VM9 más bien una respuesta definitiva.
Otro Ejemplo Patológico
Uno puede construir aún más patológicos ejemplos de VM9 del: considere la función
$$\psi(x) = \left\{\begin{array}{cl}1& x\in\mathbb{Q}\\0& x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array}\right.$$
Sin embargo, esta función es generalmente considerado, para los efectos de la $\mathbf{L}^2(\mathbb{R})$, como ser la misma que la función $\psi:\mathbb{R}\to\mathbb{C};\;\psi(x) = 0$: uno wontedly considera que, estrictamente hablando, de clases de equivalencia de funciones, cuando consideremos $\psi_1\sim\psi_2$ si la medida de Lebesgue $\mu(\{x\in\mathbb{R}: \psi_1(x) \neq \psi_2(x)\})$ del conjunto de $\{x\in\mathbb{R}: \psi_1(x) \neq \psi_2(x)\}$ es nada. Llamamos a las funciones que no son iguales pero similares por la relación $\sim$ "igual en casi todas partes". Debemos interpretar el espacio de Hilbert de la integridad de esta manera: la función Hermite expansión de mi patológico $\psi$ es el mismo que el de expansión para $\psi:\mathbb{R}\to\mathbb{C};\;\psi(x) = 0$. Por otra parte, esta equivalencia tiene perfecto sentido físicamente: no existe la probabilidad de observar una partícula en un subconjunto $U\subset\mathbb{R}$ si la función de onda $\psi$ es cero en casi todas partes en ese subconjunto, es decir, igual a cero allí aparte desde dentro de un conjunto de $V\subset U$ de medida cero ($\mu(V)=0$).
Nonnormalisable Estados
A menudo también queremos pensar nonnormalisable estados: por ejemplo, el estado $\psi(x) = e^{i\,k\,x}$ en la posición de coordenadas, el "momentum eigenstate" con se conoce con precisión el impulso $\hbar\,k$ pero totalmente deslocalizada en la posición de coordenadas, o para un segundo ejemplo importante $\psi(x) = \delta(x)$: la delta de Dirac, en el sentido distributivo. Podemos entonces construir normalisable miembros de las continuas superposiciones de estos estados: la transformada de Fourier, por definición, resuelve $psi\in\mathbf{L}^2(\mathbb{R})$ en una superposición de deslocalizados impulso autoestados $e^{i\,k\,x}$. A la razón y ejercen estos nonnormalised estados adecuadamente, se debe llamar en la idea de manipulado espacio de Hilbert y pensar acerca de la clase de templado de distribuciones en lugar de $\mathbf{L}^2(\mathbb{R})$; véase mi respuesta a esta pregunta y también esta de aquí para más detalles.
Condiciones para Normalisability
Traigo a su atención las condiciones whereunder tenemos normalisable autoestados. Ver QMechanic conciso resumen aquí; normalisable autoestados needfully corresponden a la discreta del espectro de un operador y esto a menudo se reduce a si un operador puede de alguna manera ser interpretado como actuar en un compacto del espacio de fase.
Otra familia ordenada de normalisable autoestados viene, de todos los lugares, el campo de la guía de ondas ópticas teoría, cuando uno busca obligado modos propios (normalisable de los estados) de la ecuación de Helmholtz $(\nabla^2 + k^2 n(x,y,z)^2)\psi = \beta^2 \psi$. Aquí $n(x,y,z)$ es el índice de refracción del perfil de una guía de onda. Tenemos el siguiente resultado - yo no puedo poner mi mano en la prueba ahora mismo, pero voy a buscarlo.
Teorema Suponga que el índice de refracción del perfil de $n:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ es tal que $n(x,y,z)\to n_0$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}\to\infty$. Entonces no hay modos ligados $\psi\in\mathbf{L}^2(\mathbb{R}^3)$ de la Ecuación de $(\nabla^2 + k^2 n(x,y,z)^2)\psi = \beta^2 \psi$ si y sólo si:
$$\int_{\mathbb{R}^3} (n(x,y,z)^2 - n_0^2) \,{\rm d}x\,{\rm d} y\, {\rm d} z> 0$$
y el discreto autovalores $\beta$ encuentran en el intervalo de $[n_0,\,\max(k \,n(x,y,z))]\qquad\square$.
Resultados análogos para $\mathbf{L}^2(\mathbb{R}^2)$ (es decir, de una forma invariante de la guía de onda, donde aplicamos el teorema de la 2D transversal progile $n(x,y)$).
Este teorema puede claramente ser inmediatamente aplicada a la búsqueda de discretos funciones propias de la ecuación de Schrödinger: simplemente reemplace $k^2 n(x,y)^2$ $E_{max} - V(x,y,z)$ donde $E_{max}$ es un overbound de energía de la energía autovalores buscamos. El discreto de valores propios se encuentran en entre $V(\infty)$ $E_{max}$ si y sólo si $E_{max}$ es lo suficientemente grande que $\int_{\mathbb{R}^3} (E_{max} - V(x,y,z)) \,{\rm d}x\,{\rm d} y\, {\rm d} z> 0$. Por lo que el teorema nos puede dar condiciones suficientes para normalisable autoestados y encontrar cotas inferiores para el estado fundamental de energía.
Similares resultados muestran que si $V(x,y,z)$ es finita para todas las $\mathbb{R}^3$ pero $V\to+\infty$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}\to\infty$, entonces hay countably muchos normalisable autoestados y que se extienden por todo el espacio de Hilbert $\mathbf{L}^2(\mathbb{R}^3)$. El oscilador armónico cuántico cae dentro de esta categoría (como hace la boca-abajo parabólico perfil de índice de refracción óptica la fibra óptica de la teoría de la guía de onda).
Comportamiento en el Clásico "Prohibido" de las Regiones
Preguntar acerca de quantum posibilidades como:
...es posible en teoría, para un ser humano para caminar a la derecha a través de una pared de concreto (aunque la probabilidad de que esto ocurra es, por supuesto, tan cerca de cero como para ser insignificante). Yo no necesariamente pregunta que tales cosas son posibles, pero quiero saber cuáles son las limitaciones.
Aquí podría ser esclarecedor en cuenta el comportamiento de la función de onda en clásicamente prohibida regiones. Un buen sistema a resolver es encontrar la normalisable energía autoestados para el finito plaza del pozo de potencial. Mira en la página de la Wiki y tener especial cuidado de que en la región prohibida clásicamente, la función de onda es siempre evanescente en clásicamente prohibida regiones: es decir, es distinto de cero, pero decae exponencialmente con el aumento de la profundidad en la región prohibida clásicamente. Lo que esto significa, prácticamente, es que la probabilidad de encontrar la partícula en cualquier distancia en la región prohibida clásicamente rápidamente se convierte en fantásticamente pequeña después de un par de longitudes de onda de la penetración. Prácticamente, la región prohibida clásicamente es también bastante cuántica prohibido demasiado, a menos que estemos hablando realmente pequeñas penetraciones. Esta es la razón por la amplia gama de radiactivos de vida media entre los elementos: una verdadera pequeña barrera de potencial a la descomposición significa descomposición puede suceder rápidamente, pero incluso un modesto incremento en el potencial de barrera de las causas de muchos órdenes de magnitud de la caída en la tasa de descomposición.
