Integral de ayuda aquí, por favor?

Question

Tengo que resolver esto

$$\int \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x^2+2x}}$$

En primer lugar hacer la sustitución de $u=x+1$ y obtener

$$\int \frac{ds}{u\sqrt{u^2-1}}$$

A continuación os sustituto $s=\sqrt{u^2-1}$ y me sale $ds=u\,du/\sqrt{u^2-1}$.

He integral de $1/s^2+1\dots$ puedo reemplazar por $s$, y obtener la integral como

$$\arctan\sqrt{u^2-1} \, .$$

La respuesta en mi libro de texto es $-\arcsin[1/(x+1)]$

Answer 1

Si $s=\sqrt{u^2-1}$$s^2=u^2-1$$2s\,ds=2u\,du$, e $s\,ds=u\,du$.

$$ \int\frac{du}{u\sqrt{u^2-1}} = \int\frac{u\,du}{u^2 \sqrt{u^2-1}} = \int\frac{s\,ds}{(s^2+1)s} = \int\frac{ds}{s^2+1} = \arctan s + \text{constante}. $$

Ahora dibuje un triángulo rectángulo en el que el lado "opuesto" tiene una longitud de $\sqrt{u^2-1}$ y el "adyacentes" lado tiene una longitud de $1$. Por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa tiene una longitud de $u$, y que vea la identidad trigonométrica $$ \arctan\sqrt{u^2-1} = \arcsin\frac{\sqrt{u^2-1}}{u} $$

Answer 2

Después de su trabajo, hay varias posibilidades. Por ejemplo, podemos dejar que la $v=\frac{1}{u}$. A continuación,$u=\frac{1}{v}$$du=-\frac{1}{v^2}\,dv$. El resto de la sustitución, tomando nota de que $\frac{1}{\sqrt{u^2-1}}=\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}$. Rápidamente llegamos a $$\int -\frac{dv}{\sqrt{1-v^2}},$$ que es familiar.

Más estándar de sustitución es $u=\sec\theta$. A continuación,$du=\sec\theta\tan\theta$, e $\sqrt{u^2-1}=\tan\theta$. Todo lo que se cancela!

Answer 3

Deje $u=1/t$, y obtener

$$\int \frac{du}{u\sqrt{u^2-1}}=-\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=-\arcsin t +C.$$

Answer 4

Querías $\;s=\sqrt{u^2-1}$, por lo que $\;s^2=u^2-1$, $\;2s\,ds=2u\,du$, y $\;s\,ds=u\,du$.

Sustituyendo nos da: $$ \begin{align}\int\frac{du}{u\sqrt{u^2-1}} &= \int\frac{u\,du}{u^2 \sqrt{u^2-1}} \\&= \int\frac{s\,ds}{(s^2+1)s}\\&= \int\frac{ds}{s^2+1} \\ \\&= \arctan s + C. \end{align} $$

Ahora no te olvides de "volver sustituto": $s = \sqrt{u^2-1} = \sqrt{(x+1)^2 - 1} = \sqrt{x^2 + 2x}$

Así que nuestra respuesta es: $$\quad\arctan(\sqrt{x^2 + 2x}) + C$$

Tenga en cuenta que con trigonométricas sustitución, y trigonométricas de soluciones, puede haber cualquier número de soluciones (constantes puede variar), como es evidente por el número de identidades trigonométricas! E. g.:

$$\arctan\sqrt{x^2+2x}-\left(\arcsin\left(\frac1{x+1}\right)-\frac\pi2\right) = 0$$

$$-\arcsin\frac1{x+1}=\arctan\sqrt{x^2+2x}-\text{ constant} = \arctan \sqrt{x^2 + 2x} + C$$

Para comprobar su integración respuestas, siempre se puede tomar la derivada de sus soluciones, y si se puede derivar el original integrando, que son "buenos para ir." Intentar diferenciar cada solución (la tuya y la del texto) y ambos le dará el equivalente de su original integrando.

Answer 5

Michael Hardy en la pista de la derecha aquí, pero creo que la respuesta es incompleta. Primero de todo, es descuidado para que deje la u en allí. Su respuesta en términos de $x$$\tan^{-1}\sqrt{x^2+2x}$. Como Michael Hardy sugerido, crear el triángulo derecho, marcando un ángulo. Deje que la longitud del lado opuesto a ese ángulo ser $\sqrt{x^2+2x}$ y el lado adyacente tiene una longitud de $1$. Que da la hypoteneuse una longitud de $x+1$.

Ahora, usted verá que el ángulo opuesto a dicho ángulo marcado tiene una condición sine de $\frac1{x+1}$. Estos 2 ángulos suman a $\frac\pi2$ radianes, por lo que tiene

$$\tan^{-1}\sqrt{x^2+2x}+\sin^{-1}\frac1{x+1}=\frac\pi2$$

$$-\sin^{-1}\frac1{x+1}=\tan^{-1}\sqrt{x^2+2x}-\frac\pi2$$

Incluyendo la constante de integración en su respuesta, $\tan^{-1}\sqrt{x^2+2x}+C$, vemos que las 2 respuestas son equivalentes. Ambas formas son correctas.