La aproximación de $x=\sqrt{2}+1$

Question

Supongamos $y>1$ es una aproximación a $x=\sqrt{2}+1$. Dar una breve razón (no de prueba) qué debe esperarse $(1/y)+2$ a ser una más cercana aproximación a $x$ $y$ es.

Después de probar esto para un poco, parece que nos puede dejar a $y_{n+1}=\frac{1}{y_n}+2$$\lim_{n\to\infty}y_n=\sqrt{2}+1$, pero esto no me da ninguna idea intuitiva de por qué $y_{n+1}$ debe ser una mejor aproximación a $x$ $y_n$ es.

¿Alguien puede dar una breve razón de esta mejora en la aproximación, sobre todo una más "intuitivo" uno de simples datos numéricos?

Answer 1

Deje$ y<1+\sqrt{2}$,

Por lo $1+\sqrt{2} - y=D$ (por ejemplo).

$1/y > \sqrt{2}-1$

Y $1/y+2>1+\sqrt{2}$

Así que vamos a $1/y+2-(1+\sqrt{2}) =d.$

Así que tenemos que demostrar que d < D.

Deje que D-d>0.

Simplificando se obtiene : 2$\sqrt{2} >y+1/y $

Lo cual es cierto como $1-\sqrt{2}<y<1+\sqrt{2}$.

Usted puede hacer lo mismo para $y>1+ \sqrt{2}$

Answer 2

Deje $y=\sqrt2+1+\epsilon=x+\epsilon$$\epsilon\to 0$, por lo que $$\frac1y=\frac1{\sqrt 2+1+\epsilon}=\frac{\sqrt{2}-(1+\epsilon)}{2-(1+\epsilon)^2}=\frac{\sqrt2-1-\epsilon}{1-2\epsilon-\epsilon^2}$$ así que $$z=\frac1y+2= \frac{\sqrt2+1-5\epsilon-2\epsilon^2}{1-2\epsilon-\epsilon^2}\sim(\sqrt2+1-5\epsilon-2\epsilon^2)(1+2\epsilon)\sim x+(2\sqrt 2-3)\epsilon$$ y, a continuación, $$|z-x|\sim(3-2\sqrt2)|\epsilon|<|z-y|\sim(4-2\sqrt2)|\epsilon|$$

Answer 3

Deje $y_n=\frac{\sqrt{2}+1}{1+\delta}$, $\delta$ pequeño (no necesariamente positivo o cero, pero seguramente no $-1$), a continuación,\begin{align}y_{n+1}&=\frac1{y_n}+2\\ &=\frac{1+\delta}{\sqrt{2}+1}+2\\ &=(1+\delta)\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}+2\\ &=(1+\delta)(\sqrt{2}-1)+2\\ &=\sqrt{2}+1+\delta(\sqrt{2}-1) \end {align} Llegamos $|y_n-(\sqrt{2}+1)|=|\frac{\delta}{\delta+1}|(\sqrt{2}+1)$ $|y_{n+1}-(\sqrt{2}+1)|=|\delta|(\sqrt{2}-1)$ así que lo que queremos es $$\left|\frac{\delta}{\delta+1}\right|(\sqrt{2}+1)>|\delta|(\sqrt{2}-1)$$ y esto es cierto ya que $$\left|\frac{1}{\delta+1}\right|(\sqrt{2}+1)^2>1$$ for small enough $\delta$ (we're good if $|\delta|<2+2\sqrt{2}$). And since this is true (if you're starting with a good enough approximation, that is. It'll still work for larger starting values, but you'll have to show that $\delta$ se pone lo suficientemente pequeño), vamos a obtener mejores aproximaciones, ya que los errores se hacen más pequeños y más pequeños.

Tenga en cuenta que este era el secreto de la inducción. Yo era incapaz de hacer una base de caso, ya que no proporcionan $y_0$ o $y_1$.