Estoy estudiando para mi examen final de análisis complejo (introductorio) de mañana. Estoy practicando un examen final antiguo, que lamentablemente no tiene clave de respuestas. Aquí hay un enlace:
http://www.math.ubc.ca/Ugrad/pastExams/Math_300_December_2008.pdf
Sólo quiero saber si estoy en el camino correcto para el Problema 1, que es una colección de 10 preguntas (¡un poco difíciles!) de verdadero/falso. Aquí están mis intentos:
1) Si $f(z)$ satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en $z_0$ entonces $f(z)$ es diferenciable en $z_0$ .
Falsos. Para la diferenciabilidad, se necesita también la continuidad de las derivadas parciales.
2) Si $f(z)$ tiene un polo en $z_0$ entonces $\lim_{z\to z_0}|f(z)|=\infty$ .
Es cierto. Aunque no estoy seguro de saber cómo demostrarlo rigurosamente.
3) Si $f(z)$ es analítica en un dominio $D$ que contiene un contorno cerrado simple $\Gamma$ entonces $\int f(z)dz=0$ .
Falsos. Para que la conclusión sea cierta en general, se necesita un dominio simplemente conectado.
4) Si las dos series de potencia $\sum_{k=0}^\infty a_k (z-z_0)^k$ y $\sum_{k=0}^\infty b_k (z-z_0)^k$ convergen a la misma función en el disco $\{|z-z_0|\}$ entonces $a_k=b_k$ para todos $k$ .
Creo que la respuesta es Verdadera para este caso. Creo que esto se deduce del teorema de Taylor. Los coeficientes $a_k$ y $b_k$ se determinan a partir de las derivadas de $f$ así que deben ser iguales. ¿Es esto correcto?
5) No existe ninguna función $f(z)$ que es analítica en el punto $0$ y no analítico en el resto.
Creo que la respuesta es falsa. No se me ocurre ningún contraejemplo. Tal vez la función $|z|^2$ ?
6) La función $\text{Log}(z^2)$ es analítica para todos los valores de $z$ excepto los del eje real negativo.
Falsa. La función $\text{Log}(z^2)$ es analítica para todos los valores de $z$ excepto los de la mitad superior del eje imaginario.
7) Cualquier función entera es la derivada compleja de otra función entera
Es cierto. Esto se deduce de la fórmula integral de Cauchy.
8) Si $f(z)$ tiene una singularidad esencial en $z_0$ , entonces Res $((z-z_0)f(z); z_0)=0$ .
Estoy bastante seguro de que esto es falso. Por ejemplo, $f(z)=e^{1/z}$ sería un contraejemplo.
9) Si $f(z)$ y $g(z)$ tener un simple polo en $0$ entonces $(fg)(z)$ tiene un polo simple en $0$ .
Creo que es cierto. Por cierto, no estoy seguro de si la notación anterior significa producto o composición. La pregunta no indica el uso. Pero creo que en cualquiera de los dos casos, la afirmación sería cierta. ¿Algún comentario al respecto?
10) Si el disco de convergencia de la serie de Taylor de una función $f(z)$ es $\{|z|=2\}$ entonces el disco de convergencia para la serie de Taylor de $f(z^2)$ es $\{|z|=4\}$ .
Francamente, estoy completamente sorprendido por esto. No tengo la menor idea de relacionar los radios de convergencia de las funciones $f(z)$ y $f(z^2)$ .
Se agradece cualquier ayuda y comentario sobre cualquiera de las preguntas. Sospecho que he cometido un par de errores arriba, aparte de los que estoy atascado. Confirmar una de mis respuestas como correcta sería igual de genial :)
Gracias.
