Distribución Fermi-Dirac en el límite de alta temperatura

Question

Estoy leyendo "Electronic Transport in Mesoscopic Systems" de Supriyo Datta y estoy un poco confundido por su discusión de la función de distribución de Fermi Dirac, que viene dada por:

$$f(E)=\frac{1}{\exp\left[\frac{E-E_f}{k_BT}\right]+1},$$

donde $E$ es la energía de un estado, $T$ es la temperatura, $E_f$ es la energía de Fermi (el estado ocupado más alto en $T=0$ ) y $k_B$ es la constante de Boltzmann.

El autor afirma que en la "...alta temperatura o el límite no degenerado $(\exp\left[E-E_f\right]/k_BT\gg1)$ "tiene la siguiente forma simple:

$$f(E)\approx\exp[-(E-E_f)/k_BT].$$

Pregunta : Estoy de acuerdo en que cuando el exponencial domina el denominador este es el resultado, pero ¿hay alguna justificación para llamarlo límite de alta temperatura ?

De hecho, creo que si la temperatura es alta, tendría sentido decir que $\frac{E-E_f}{k_BT}\ll 1$ en cuyo caso la exponencial no domina en absoluto el denominador.

Yo lo descartaría como una errata, pero cuando miro un gráfico de las distribuciones de Fermi-Dirac para diferentes temperaturas sí parece que adoptan la forma de una función que decae exponencialmente cuando la temperatura es alta:

Answer 1

A menos que se encuentre en el límite de baja temperatura, entonces la distribución F-D debe escribirse como $$ F(E) = [\exp (E-\mu)/kT +1]^{-1},$$ donde $\mu$ es el potencial químico.

Creo que lo que te falta es que el potencial químico no es una constante, sino que depende de la temperatura. A altas temperaturas entonces $\mu < 0$ y $\exp(-\mu/kT) \gg 1$ . Podría echar un vistazo a esta respuesta a otra pregunta para que se explique por qué es así.

Así, $$[\exp (E-\mu)/kT +1]^{-1} \simeq [\exp(-\mu/kT)\exp(E/kT)]^{-1} =\exp(\mu/kT)\exp(-E/kT) $$ que es la distribución de Boltzmann y es $\ll 1$ para todos $E$ .