La prueba de que $\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$

Question

Thomson et al. proporcionar una prueba de que $\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$ en este libro. Tiene que ver con el uso de una desigualdad que se basa en el teorema del binomio. Traté de hacer una alternativa a prueba ahora que sé (de otros) los siguientes:

\begin{align} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{ \log n}{n} = 0 \end{align}

A continuación, el uso de este, yo en su lugar puede probar: \begin{align} \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n} &= \lim_{n\rightarrow \infty} \exp{\frac{ \log n}{n}} \newline & = \exp{0} \newline Y = 1 \end{align}

Por un lado, parece una prueba válida para mí. Por otro lado, sé que debo tener cuidado con secuencias infinitas. El paso estoy más seguro de que es: \begin{align} \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n} = \lim_{n\rightarrow \infty} \exp{\frac{ \log n}{n}} \end{align}

Sé que tal identidad se mantenga para delimitada $n$, pero no estoy seguro de que puedo usar esta identidad cuando $n\rightarrow \infty$.

Si estoy en lo correcto, entonces ¿hay casos donde estaría mal? Específicamente, dada la secuencia de $x_n$, puedo suponer siempre que: \begin{align} \lim_{n\rightarrow \infty} x_n = \lim_{n\rightarrow \infty} \exp(\log x_n) \end{align} O hay secuencias que invalidan esa identidad?

(Editado para expandir la última pregunta) dada la secuencia de $x_n$, puedo suponer siempre que: \begin{align} \lim_{n\rightarrow \infty} x_n &= \exp(\log \lim_{n\rightarrow \infty} x_n) \newline &= \exp(\lim_{n\rightarrow \infty} \log x_n) \newline &= \lim_{n\rightarrow \infty} \exp( \log x_n) \end{align} O hay secuencias que invalidar ninguna de las anteriores identidades?

(Editado para cambiar la finalidad de esta pregunta). También por favor siéntase libre de agregar diferentes pruebas de $\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$.

Answer 1

Aquí está uno con $AM \ge GM$ a $1$ apareciendo $n-2$ veces y $\sqrt{n}$ que aparecen dos veces.

$$\frac{1 + 1 + \dots + 1 + \sqrt{n} + \sqrt{n}}{n} \ge n^{1/n}$$

yo.e

$$\frac{n - 2 + 2 \sqrt{n}}{n} \ge n^{1/n}$$

es decir,

$$ 1 - \frac{2}{n} + \frac{2}{\sqrt{n}} \ge n^{1/n} \ge 1$$

Que el límite es $1$ de la siguiente manera.

Answer 2

Dado que $x \mapsto \log x$ es una función continua, y desde funciones continuas respetar los límites: $$ \lim_{n \to \infty} f(g(n)) = f\left( \lim_{n \to \infty} g(n) \right), $$ para funciones continuas de $f$, (dado que $\displaystyle\lim_{n \to \infty} g(n)$ existe), su prueba es completamente correcto. Específicamente, $$ \log \left( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n}, $$

y por lo tanto

$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = \exp \left[\log \left( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \right) \right] = \exp\left(\lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n} \right) = \exp(0) = 1. $$

Answer 3

He aquí una de dos líneas, completamente primaria prueba de que sólo utiliza la desigualdad de Bernoulli:

$$(1+n^{-1/2})^n \ge 1+n^{1/2} > n^{1/2}$$ así, la elevación a los $2/$ n poder, $$ n^{1/n} < (1+n^{-1/2})^2 = 1 + 2 n^{-1/2} + 1/n < 1 + 3 n^{-1/2}.$$

Descubrí esto de forma independiente, y luego encontró una muy similares a prueba en Courant y Robbins "¿Qué es la Matemática".

Answer 4

$\sqrt[n]{n}=\sqrt[n]{1\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\dots\cdot\frac{n-1}{n-2}\cdot\frac{n}{n-1}}$, y así tener una secuencia de medios geométrica de la secuencia de $a_{n}=\frac{n}{n-1}$. Por lo tanto, su límite es igual a $\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}=1$.

Answer 5

Deja $$ n es un entero $n>2$ y real $x>0$, el teorema del binomio dice $$ (1+x)^n>1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2 $$ Vamos a $N(x)=\max(2,1+\frac{2}{x^2})$. Para $n>N(x)$, obtenemos que $\frac{n(n-1)}{2}x^2>$ n. Por lo tanto, para cualquier valor de $x>0$, obtenemos que para $n>N(x)$ $$ 1<\sqrt[n]{n}<1+x $$ Por lo tanto, hemos $$ 1\le\liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}\le\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}\le 1+x $$ Como esto es cierto para cualquier valor de $x>0$, debemos tener $$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1 $$