En la teoría de la probabilidad se utiliza a menudo la existencia de una secuencia $(X_n)_n$ de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. Esto ya se discutió aquí . Una de las respuestas dice:
Como ha señalado Ahriman, si eres dado una variable aleatoria $X:\Omega\to E$ puede no ser posible construir toda la secuencia en $\Omega$ ya que este último puede ser un espacio bastante pobre, por lo que habría que optar por un espacio más rico.
Mi pregunta es la siguiente: ¿Cómo podría "enriquecer" mi espacio probabilístico dado $\Omega$ tal que pueda asegurar la existencia de variables aleatorias iid en este espacio de probabilidad?
Mi idea era la siguiente: Supongamos que tengo un espacio de probabilidad dado $(\Omega_1,\mathcal{A}_1,\mathbb{P}_1)$ y una variable aleatoria $X:\Omega_1 \to E$ . Ahora puedo construir un espacio de probabilidad $(\Omega_2,\mathcal{A}_2,\mathbb{P}_2)$ tal que existe una secuencia de variables aleatorias iid $X_n: \Omega_2 \to E$ . Dejemos que $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) := (\Omega_1,\mathcal{A}_1,\mathbb{P}_1) \otimes (\Omega_2,\mathcal{A}_2,\mathbb{P}_2)$ el espacio del producto, entonces
$$X_n'(w_1,w_2) := X_n(w_2) \qquad \qquad X'(w_1,w_2) := X(w_1)$$
seguiría cumpliendo $X' \sim X$ , $X_n' \sim X_n$ y las variables aleatorias $X_n'$ sería independiente. ¿Es esto correcto...?
0 votos
He utilizado este enfoque sin problemas para casos sencillos, en los que $X$ y $E$ sería algo fácil, por ejemplo $\mathbb{R}^d$ o cadenas de Markov en grafos finitos, etc. Sin embargo, no puedo certificar que sea correcto si $\Omega_1$ o $\Omega_2$ son algunas construcciones extrañas, mis habilidades en la teoría de la medida no son lo suficientemente buenas ;-) (si no recuerdo mal, incluso la existencia del espacio producto no es trivial).
0 votos
Véase, por ejemplo, la construcción del producto de dos $\sigma$ -espacios de medidas finitas en Rudin, "Real and Complex Analysis", capítulo 7.
0 votos
@dtldarek Para tu información, una condición suficiente (que ciertamente se cumple aquí por nuestras medidas de probabilidad) para construir un espacio producto de dos espacios de medidas es que las medidas sean sigma finitas. Esta es la que yo cumplo, y yo creer que es lo que utilizan la mayoría de los analistas que trabajan. Siempre se puede construir el espacio producto de un conjunto de índices de cardinalidad arbitraria si se ignora la tercera coordenada de los datos: la medida. Pero si quieres la medida también, entonces necesitas algunas condiciones de regularidad y que las medidas sean medidas de probabilidad si el conjunto de índices del producto es infinito.