¿Donde puedo comprobar una solución 3D Navier Stokes?

Question

Un par de años he desarrollado una solución para las ecuaciones de Navier-Stokes y como aún no han sido capaces de localizar una versión similar de la solución. Me gustaría saber si alguien ha visto una solución como esta o puede detectar errores significativos.

La versión de las ecuaciones que he trabajado son como sigue, donde me puse a $\nu = 1$:

$\partial_tu+u\partial_xu+v\partial_yu+w\partial_zu = -\partial_xp + \nu(\partial_{xx}u+\partial_{yy}u+\partial_{zz}u)$

$\partial_tv+u\partial_xv+v\partial_yv+w\partial_zv = -\partial_yp + \nu(\partial_{xx}v+\partial_{yy}v+\partial_{zz}v)$

$\partial_tw+u\partial_xw+v\partial_yw+w\partial_zw = -\partial_zp + \nu(\partial_{xx}w+\partial_{yy}w+\partial_{zz}w)$

$\partial_xu+\partial_yv+\partial_zw=0$

---

La original solución que se me ocurrió es (reconociendo que $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$, lo cual es importante para mantener ampliado para ver fácilmente las cancelaciones):

$p =-(\sin^2(x) + \cos^2(x))e^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$

$u =\sin(x)e^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$; $v =\cos(x)e^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$; $w =\cos(x)e^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$

He comprobado a ver si funciona esto varias veces, pero siempre se han preguntado si he cometido un error, las correspondientes derivaciones están por debajo, donde$cos(x)=c_x$$sin(x) =s_x$.

---

---

$\partial_x{u} =c_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$; $\partial_x{v} =-s_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$; $\partial_x{w} =-s_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$

$\partial_y{u} =\frac{-1}{2}s_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$; $\partial_y{v} =\frac{-1}{2}c_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$; $\partial_y{w} =\frac{-1}{2}c_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$

$\partial_z{u} =\frac{-1}{2}s_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$; $\partial_z{v} =\frac{-1}{2}c_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$; $\partial_z{w} =\frac{-1}{2}c_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$

---

$\partial_t{u} =\frac{-1}{2}s_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$; $\partial_t{v} =\frac{-1}{2}c_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$; $\partial_t{w} =\frac{-1}{2}c_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$

---

---

$\partial_{xx}{u} =-s_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$; $\partial_{xx}{v} =-c_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$; $\partial_{xx}{w} =-c_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$

$\partial_{yy}{u} =\frac{1}{4}s_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$; $\partial_{yy}{v} =\frac{1}{4}c_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$; $\partial_{yy}{w} =\frac{1}{4}c_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$

$\partial_{zz}{u} =\frac{1}{4}s_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$; $\partial_{zz}{v} =\frac{1}{4}c_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$; $\partial_{zz}{w} =\frac{1}{4}c_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$

---

$\sum{} =\frac{-1}{2}s_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$; $\sum{} =\frac{-1}{2}c_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$; $\sum{} =\frac{-1}{2}c_xe^{-\frac{1}{2}(|y|+|z|+|t|)}$

---

---

$u\partial_x{u} =s_xc_xe^{-(|y|+|z|+|t|)}$; $u\partial_x{v} =-s^2_xe^{-(|y|+|z|+|t|)}$; $u\partial_x{w} =-s^2_xe^{-(|y|+|z|+|t|)}$

$v\partial_y{u} =\frac{-1}{2}s_xc_xe^{-(|y|+|z|+|t|)}$; $v\partial_y{v} =\frac{-1}{2}c^2_xe^{-(|y|+|z|+|t|)}$; $v\partial_y{w} =\frac{-1}{2}c^2_xe^{-(|y|+|z|+|t|)}$

$w\partial_z{u}=\frac{-1}{2}s_xc_xe^{-(|y|+|z|+|t|)}$; $w\partial_z{v}=\frac{-1}{2}c^2_xe^{-(|y|+|z|+|t|)}$; $w\partial_z{w}=\frac{-1}{2}c^2_xe^{-(|y|+|z|+|t|)}$

---

$\sum{}=(s_xc_x-s_xc_x)e^{-(|y|+|z|+|t|)}$;$\sum{}=-(s^2_x + c^2_x)e^{-(|y|+|z|+|t|)}$;$\sum{}=-(s^2_x + c^2_x)e^{-(|y|+|z|+|t|)}$

---

---

He jugado un poco con la idea de que en realidad hay tres versiones de la solución, que está orientado para cada eje, como se ilustra a continuación:

Donde la presión componente puede ser añadido como sigue:

Nota: Sólo un apéndice, como se señaló en los comentarios, mi primera versión de este fue sin el valor absoluto de los símbolos, que permite la solución de enfoque infinito de valores en negativo coordenadas. Mi pensamiento inicial fue que los valores absolutos fueron suficientes restricción, pero como se señaló en los comentarios esto se traduce en una discontinuidad en algunos de los derivados cuando se establecen los valores a cero. Todavía no he explorado si esto es una verdadera singularidad o una coordenada uno, ya que la solución aparece singularidad libre en el positivo de dominio.

Answer 1

Hay algo sospechoso acerca de su resultado: todas las cantidades tienen un $e^{-\frac{1}{2}|t|}$ factor en ellos. De modo que el movimiento de estas ecuaciones describen comienza a $t=-\infty$ completamente inmóvil y sin gradiente de presión, comienza a moverse sin una fuerza externa, y, finalmente, muere al $t=\infty$. Eso no parece muy coherente con lo que uno esperaría de conservación de la energía, especialmente en un disipador de configuración.

No es lo obvio es que no veo que teniendo en cuenta que

$$\frac{d}{dt}e^{-\frac{1}{2}|t|} = \left\{ \begin{array}{l l} -\frac{1}{2} e^{-\frac{1}{2}|t|} & \quad \text{if %#%#%}\\ \frac{1}{2} e^{-\frac{1}{2}|t|} & \quad \text{if %#%#%} \end{array} \right.$$

un tema que precede a $t >0$$t <0$. No he mirado en detalle, pero creo que básicamente, esto invalida sus resultados fuera de la $y$ región.

A mí me parece que la objeción se puede superar mediante la eliminación de todos los valores absolutos, aunque su solución no podría extenderse a $z$ en $y, z, t >0$, $-\infty$ y $t$ sin tener $y$ valores. Su todavía un impresionante resultado, si nadie puede encontrar cualquier otro desperfecto.

EDITAR Si usted limitar su extensión a $z$ luego está el problema añadido de que tiene una muy antinatural condición en $\infty$, ya que el líquido tiene que ser suministrada o eliminado a lo largo de la $y, z >0$ eje a una velocidad precisa de un apoyo para su solución.

Answer 2

Soluciones de la forma

$$ cos(x_i)e^{-x_j}$$

son comunes específicos de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes en forma simplificada (que no simple) problemas. Estos son, sin embargo, los problemas en los que la inercia es ignorado, que debes incluir. (Por favor, tenga en cuenta que estoy usando el índice de notación, con $i,j\in\{1,2,3\}$). $x_j$ es, entonces, el muro de la dirección de la normal. Esto es en realidad bastante bien relacionados con los comentarios de Jaime.

Yo no comprobar sus soluciones, y no estoy muy familiarizado con la literatura sobre este tema, pero es interesante que el mismo truco también funciona en tres dimensiones. La única cosa es, que encontró tres soluciones separadas, y una combinación lineal de los tres, es más probable que deje de una solución debido a la no linealidad de las ecuaciones.

Probablemente usted también encontrará que una solución en forma

$$ u_n(\vec{x})=cos(k_nx_i)e^{-l_nx_j}$$

también satisface las ecuaciones. En los casos sin inercia, se puede escribir la solución como una combinación lineal de y se obtiene:

$$ u=\sum_n u_n(\vec{x})$$

donde $k_n$ $l_n$ tomar el control de los diferentes tamaños de sus características de flujo.