La estructura de un anillo noetheriano en que cada elemento es un idempotente.

Question

Que $A$ ser un anillo que no tenga una unidad. Supongamos que cada elemento $a$ $A$ es un idempotente. i.e. $a^2 = a$. Se demuestra fácilmente que $A$ es conmutativa. Supongamos que cada ideal de $A$ es finitamente generado. ¿Podemos determinar la estructura de $A$?

Answer 1

Respuesta corta: $A$ es de un número finito de anillo con unidad.

Como ustedes saben, estos son llamados anillos Booleanos, y la categoría de los Booleano anillos con unidad es equivalente a la de álgebras Booleanas y doble a la categoría de totalmente desconectado compacto Hausdorff espacios. Esta es una bocanada de adjetivos, que es generalmente abreviado a "Piedra del espacio" o, cuando la Piedra está escrito, "Boolean espacio," a pesar de su necesidad de no ser compacto. Una prueba de que en este caso Noetherianness es equivalente a la finitud aparece en estas notas de Pete Clark.

En este documento que presentó la dualidad entre Booleano anillos y los espacios, la Piedra de sí mismo no restringir a la unital caso. En el más general de la configuración de la categoría de anillos Booleanos se muestra dual a la categoría de totalmente desconectado espacios de Hausdorff (advertencia: confusamente, de Piedra llamadas de Hausdorff espacios "H-espacios." También, "bicompact" = "pacto".) Más relevante es su

Teorema 8 de La no-compacto Booleano espacios (es decir, no compacto localmente compacto totalmente desconectado espacios de Hausdorff) son exactamente los no-abierto cerrado subconjuntos compactos Booleano espacios. En particular, el natural punto de compactification mapas no compacta Booleano espacios compactos Booleano espacios. En consecuencia, el Booleano generadores de números aleatorios sin unidad se caracteriza algebraicamente como la no-director de ideales en anillos Booleanos, es decir, cada uno de los ex es functorially isomorfo a uno de los últimos.

He tratado de traducir a su idioma para el siglo actual. Así, esto nos lleva a

Reclamación $A$ como en la cuestión de la declaración es de un número finito de anillo con unidad.

Para demostrar que el reclamo, supongamos $A$ no tiene unidad, por lo que la Piedra del teorema anterior podemos entretejer $A$ en un anillo Booleano $\hat{A}$ como un no-principal ideal $I$. El punto es que $I$ es en realidad infinitamente generado: finitely generado ideales en anillos Booleanos son los principales. Para el finitely generado ideal $(a_1,...,a_n)$ es en realidad igual a $(a_1,...,a_{n-1}+a_n+a_{n-1}a_n),$ y por inducción el resultado de la siguiente manera. Comprobamos la inducción paso: observar que, ciertamente,$a_{n-1}+a_n+a_{n-1}a_n\in(a_1,...,a_n)$. Por el contrario, $a_n(a_{n-1}+a_n+a_{n-1}a_n)=2a_na_{n-1}+a_n^2=a_n, a_{n-1}(a_{n-1}+a_n+a_{n-1}a_n)=a_{n-1}$, y, de hecho,$a_{n-1},a_n\in (a_1,...,a_{n-1}+a_n+a_{n-1}a_n)$.

Hemos mostrado $A$ es isomorfo a un ser infinitamente generado ideal de $\hat{A}$. Deje $(a_i)_{i\in\Bbb{N}}$ ser un reducido grupo electrógeno $A$, por lo que el $(a_1,...,a_{n-1})\subsetneq (a_1,...,a_n)$ por cada $n$. Cada una de las $(a_1,...,a_n)$ es un ideal de a $\hat{A}$, a fortiori, un ideal de a $A$, y por lo tanto $A$ no puede ser Noetherian. Hemos llegado a una contradicción, y ver que en realidad todos Noetherian Booleano anillos son finitos Booleano anillos con unidad. Desde finito anillos son Noetherian, esto le da una caracterización completa.

Answer 2

Puede ser demostrado con pasos sencillos que son los lemas que son muy útiles en otras situaciones:

• Noetherian Booleano anillos tienen identidad. Prueba: supongamos $\hat{R}$ ser la unificación de $R$, por lo que $R\lhd \hat{R}$. $R$ es finitely generado en $\hat{R}$$R^2=R$, así que por Nakayama del Lexema, existe un $x\in R$ tal que $(1-x)R=0$. Pero esto significa que $x$ es una identidad para $R$.
• Boolean anillos son trivialmente von Neumann regular
• un Noetherian von Neumann regular anillo semisimple
• un conmutativa anillo semisimple es un producto finito de campos
• el único campo Booleano es $\Bbb F_2$, por lo que todos los campos se $\Bbb F_2$.

Así, la estructura de todos los anillos es la de finito de productos de $\Bbb F_2$.

Answer 3

Un anillo boleano es $0$-dimensional. Por lo tanto un anillo boleano noetheriano del $A$ es artinian, por $\mathrm{Spec}(A)$ es finito y discreto. $A \cong C(\mathrm{Spec}(A),\mathbb{F}_2)$ Por Teorema de piedra. Por lo tanto, $A \cong \mathbb{F}_2^n$ $n$. Si $A$ no es unital, lo consideran como un ideal de la unitalization $\tilde{A}$ $\mathbb{F}_2$-álgebra, que también es booleano y noetheriano. Por lo tanto, $\tilde{A} \cong \mathbb{F}_2^n$ y vemos $A \cong \mathbb{F}_2^{n-1}$.