¿Por qué una superficie orientable de género > 1 siempre tiene una 3-fold cubierta irregular?

Question

Esta es una pregunta de un antiguo examen de calificación en la topología.

Deje $S_g$ ser la compacta orientable superficie de género $g$. Mostrar que $S_g$ tiene una irregular de 3 veces la cubierta cuando se $g>1$.

Mientras que la cuestión no establece explícitamente de ella, estoy bastante seguro de que estamos llamados a asumir que estamos buscando una conectada cubierta.

Entiendo que esto equivale a la búsqueda de un no-normal índice 3 subgrupo de $$\pi_1(S_g)=\langle a_1,b_1,\dots,a_g,b_g\big|[a_1,b_1]\cdots[a_g,b_g]\rangle.$$

Estoy seguro de que hay un grupo de teóricos de la manera de mostrar un subgrupo existe, y por cierto, estoy interesado en escuchar los argumentos. Sin embargo, estoy mucho más interesado en un argumento geométrico o al menos la comprensión de esta cubriendo el espacio.

He jugado un rato con él y en realidad no han llegado a ninguna parte. He intentado construir un no-normal índice 3 subgrupo a mano, y también he estado mirando los regulares que cubren espacios de $S_g$ (Ejemplo 1.41 en Hatcher) y tratando de ajustar a ellos de alguna manera.

Answer 1

En caso de que alguien se interese en mi solución, aquí está. Hablé con un par de otras personas para obtener algunas ideas, y utiliza los comentarios que recibí aquí.

Utilizando la idea de tomar un surjection $\pi_1(S_g)\rightarrow\Sigma_3$, me encontré con un índice de 3 subgrupo de $\pi_1(S_g)$. El mapa es $$\phi:\langle a_1,b_1,\dots,a_g,b_g\Big|[a_1,b_1]\cdots[a_g,b_g]\rangle\rightarrow \Sigma_3$$ $$a_1,a_2\mapsto (12)$$ $$b_1\mapsto (13)$$ $$b_2\mapsto (23)$$

(todos los otros generadores mapa a $e$, pero voy a continuar con el caso sólo para $g=2$ por simplicidad).

A continuación, $\langle (12)\rangle$ no es normal índice 3 subgrupo de $\Sigma_3$, lo $$\phi^{-1}(\langle(12)\rangle)=\langle a_1,a_2,b_1^2, b_2^2, b_1b_2b_1^{-1},b_2b_1b_2^{-1}\rangle$$

no es normal el índice 3 subgrupo de $\pi_1(S_g)$.

Hasta ahora, esta no es realmente agregar nada a las respuestas que me dieron, pero yo estaba realmente interesado en una imagen geométrica de lo que estaba pasando. Después de un poco de trasteo terminé con esta imagen.

Gracias por el aporte, todo el mundo!

Answer 2

Esto probablemente no es el tipo de imagen que usted está buscando, pero eh.

Una de 3 veces la cobertura de $M$ canónicamente (una vez que usted elige un bijection $p^{-1}(x) \cong \{1,2,3\}$) le da un homomorphism $\pi_1(M) \to S_3$, el envío de un bucle a la forma en que sus ascensores permutar la fibra. Regular 3 veces la cobertura es uno en el que la imagen de este homomorphism es trivial o una copia de $\Bbb Z/3$, y conectado uno viene de cualquier homomorphism cuya imagen es $S_3$ o $\Bbb Z/3$. (Vea si usted puede probar estos hechos.)

¿Cómo se puede ir hacia atrás de esto? Si tengo un homomorphism $f: \pi_1(M) \to S_3$, que realmente se puede construir un grado 3 de cubrir el espacio correspondiente a la acción en la fibra. El pensamiento de $\pi_1(M)$ como la cubierta de las transformaciones en la cobertura universal, definir $$M_f = (\tilde M \times \{1, 2, 3\})/((x,n) \sim(\varphi(x),f(\varphi)(n)).$$ This is a degree three covering space of $M$, with the covering map just the natural covering map in the first factor. So we just need to find a surjective homomorphism $\pi_1(M) \a S_3$ to construct your cover corresponding to a non-normal index 3 subgroup (which would literally be $f^{-1}(\{(1), (12)\})$ por ejemplo.)

Probablemente se podría intentar usar esta construcción explícita para la construcción de la cubierta del espacio de forma explícita, aunque yo no trate; tenemos una composición de mapas que cubren $\bar{M_f} \to M_f \to M$ donde $\bar{M_f}$ es la parte que cubre el espacio correspondiente a $\text{ker}(f)$, y el primer mapa es normal que los cubre (como es la composición). Usted puede averiguar lo $\bar{M_f}$ es y, a continuación, encontrar cuál es el $\Bbb Z/2$ acción. Pero tuve problemas para tirar esto adelante.

Para un fácil ejemplo real de una cosa, acaba de tomar $$f(g_1) = (12), f(h_1) = (13), f(g_2) = (13), f(h_2) = (12),$$ and $f(g_i) = f(h_i) = (1)$ for $i>2$. This also makes it clear why every degree 3 covering of the torus is normal; every homomorphism to $S_3$ debe tener abelian imagen!