¿Cómo puedo resolver la ecuación $$y^{3}-3^{x}=100$$ sobre enteros positivos?
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user8269
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Esto puede ser el camino difícil, pero podemos convertirlo en un par de ecuaciones de Mordell. Si $x$ es uniforme, es $y^3-u^2=100$ (donde $u=3^{x/2}$ ). Si $x$ es impar, es $Y^3-X^2=2700$ (donde $Y=3y$ y $X=9\times3^{(x-1)/2}$ ). Así que sólo tenemos que encontrar todas las soluciones de las ecuaciones de Mordell $y^3-u^2=100$ y $Y^3-X^2=2700$ y luego comprobar si las soluciones son de las formas dadas. Las soluciones a las ecuaciones de Mordell han sido tabuladas, probablemente puedas encontrarlas hasta valores moderadamente altos en la web.
user8269
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Creo que hay una manera más fácil que pasar por las ecuaciones de Mordell, utilizando sólo un poco de teoría algebraica de números. Tomaré el caso $x=2n+1$ es impar, el caso par es similar y quizás un poco más fácil.
Tenemos $y^3=100+3u^2$ donde $u=3^n$ . Trabajando en el anillo de enteros de $Q(\sqrt{-3})$ obtenemos $y^3=(10+u\sqrt{-3})(10-u\sqrt{-3})$ . Este anillo de enteros es un dominio de factorización único, por lo que $10+u\sqrt{-3}$ debe ser un cubo, $10+u\sqrt{-3}=((a+b\sqrt{-3})/2)^3$ [Puede que esto no sea del todo correcto -estoy pasando por alto la presencia de unidades- pero lo dejaré en manos de OP]. Multiplicando, e igualando las partes reales, e igualando las partes imaginarias, obtenemos $a^3-9ab^2=80$ y $3a^2b-3b^3=8u$ . La primera ecuación dice $a$ es un factor de $80$ Y sólo hay unos pocos. Para cada uno de estos $a$ (incluidos los negativos), compruebe si la ecuación da un valor entero de $b$ y luego comprueba si la segunda ecuación da $u$ como un poder de $3$ y ya está.
Por ejemplo, $a=-4$ en la primera ecuación da $b=\pm2$ y luego $a=-4,b=2$ da $u=9$ en la segunda ecuación, que se traduce en la solución $y=7,x=5$ .
