Recientemente he comenzado a estudiar la geometría algebraica, geometría diferencial de fondo. Parece que hay un vínculo profundo entre los complejos colectores y complejo de variedades. Por ejemplo, a menudo se escucha que son dos maneras diferentes de ver la misma cosa. ¿Alguien puede dar una indicación precisa de esta relación?
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El artículo de la Wikipedia es más técnico de lo que debe ser, y para el lector en un apuro, no todos los que escriben así. Aquí está un resumen de los puntos principales como mejor yo los entiendo:
Complejo de colectores son análogas a las de lisa complejo de variedades algebraicas, no en singular. Pero esa discrepancia es superable, ya que también puede tener complejo de la analítica de las variedades que pueden tener similares a las singularidades. A continuación, la primera y más importante relación es que cada complejo variedad algebraica es un complejo de la analítica de la variedad. Cada conjunto abierto Zariski es analíticamente abierto; analítica de encolado mapas son más general que algebraicas; y el permitido gráficos analíticos son más general que el permitido algebraica de los gráficos. También cada algebraica de morfismos es una analítica de morfismos, por lo que obtener un morfismos entre las categorías.
Pero la conexión es mejor que la causa de la GAGA principio (a nivel mundial analítica implica a nivel mundial algebraicas). Mi comprensión de GAGA es muy limitada, pero creo que las siguientes opciones es correcta. Entre otras consecuencias de GAGA, una cerrada analítica subvariedad de una adecuada (equivalente a compact) variedad algebraica es algebraico. Una analítica isomorfismo entre dos adecuada de variedades algebraicas es la expresión algebraica. Me gustaría suponer que hay un principio similar para compact fibrations así.
Así que, si usted maquillaje compacto de la analítica de variedades algebraicamente, usted no puede escapar de la algebraicas de la clase algunas de las principales construcciones de complejos colectores de no escapar de la algebraicas de la clase. (Pero no todos: deformaciones y la infinita grupo de acciones puede escapar.) Todos proyectiva de la analítica de variedades algebraicas, y en la dimensión 1 compactos de curvas proyectivas. Por otra parte, existe un número limitado de formas para un compacto de la analítica de colector para evitar ser proyectiva, por Moishezon del teorema y de Kodaira del teorema. En la práctica, entonces, la mayoría de los complejos colectores que hacen que las personas son algebraicas. Además, la mayoría de las determinaciones analíticas en una adecuada algebraicas variedad algebraica: Muchas global cálculos algebraicos son por GAGA, y muchos de los cálculos algebraicos son sólo por truncar la serie de Taylor.
Contraste esto con real algebraicas vs real analítica. Lo cierto es que (la realidad de) un suave real algebraica de la variedad es una verdadera analítica del colector. Con más fuerza que en el caso complejo, aunque es altamente no trivial, todas las compactas real de la analítica de colector es real algebraicas. Pero la verdadera estructura algebraica es masivo, no única, incluso para un círculo, y eso hace toda la diferencia.
El otro ms responden en este hilo, que son más expertos en este tema que yo, tenía más información acerca de por qué un pequeño complejo colector no puede ser una suave variedad proyectiva. Sólo para aclarar, voy a restringir la atención a la compacta, lisa caso. También, usted dice "correcto" en lugar de "pacto" en el algebraicas categoría debido a que cada variedad algebraica es "compacto" en la extremadamente grueso de la topología de Zariski. Una variedad algebraica es correcta si y sólo si es analíticamente compacto. El principal uso de la palabra adecuada es de destacar que es más general que la proyectiva, lo que significa dadas por ecuaciones polinómicas en el complejo espacio proyectivo.
Hay dos muy diferentes inicial razones por las que una analítica complejo colector podría no ser proyectiva. No podría ser de Moishezon: Un complejo de $n$-colector es Moishezon si tiene $n$ algebraicamente independiente de meromorphic funciones. (El número de algebraicamente independiente de los elementos o la trascendencia grado de un campo que se llama la dimensión de Krull. El meromorphic dimensión de Krull de un pequeño complejo de $n$-colector es en la mayoría de los $n$.) O puede que no se Kähler: Un complejo de $n$-colector de Kähler si tiene una métrica de Riemann tales que la derivada covariante de la compleja estructura se desvanece. Entonces, para resumir lo que la gente dice acerca de compacto complejos colectores (mucha de la cual está en la parte de atrás de Hartshorne del libro):
proyectiva ⇒ algebraicas ⇒ Moishezon ⟺ bimeromorphically proyectiva
proyectiva ⇒ Kähler ⇒ simpléctica ⇒ no-cero $H^2$
algebraicas ⇒ no-cero $H^2$ (exposited por David Speyer)
Moishezon y Kähler ⟺ proyectiva (Moishezon)
Kähler e integralmente simpléctica ⟺ proyectiva (Kodaira)
Además, la proyectiva y la estructura algebraica y la Moishezon la propiedad son inestables con respecto a la analítica de la deformación. Y bimeromorphic equivalencia conserva $\pi_1$. Taubes encontrado compacto complejos colectores de que se han equivocado de $\pi_1$ a ser Kähler, de hecho, ellos pueden tener cualquier $\pi_1$. Voisin encontrado compacto Kähler colectores con el mal homotopy tipo proyectiva, desmintiendo de Kodaira la conjetura de que todo compacto Kähler colector puede ser deformado para proyectiva. Y, en el campo de la izquierda, a la izquierda-invariante estructura compleja (LICS) en una compacta sencilla Mentira grupo es un pequeño complejo colector de que no tiene $H^2$ y puede ser simplemente conectado.
Todavía, a pesar de estas hermosas no proyectiva compacto complejo de colectores, es generalmente más fácil el estudio proyectivo ejemplos. Es generalmente más fácil de eludir el análisis y hacer el álgebra en su lugar.
DavLink
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Parece que nadie ha mencionado que si un complejo múltiple es una variedad algebraica, entonces tiene un agradable compactification. Más precisamente, por Hironaka puede ser integrado en un colector compacto tal que el límite es un divisor con la normal de cruces.
En la dimensión 1 esta es la única condición: una superficie de Riemann es una curva algebraica si y sólo si puede ser compactified mediante la adición de un número finito de puntos. En particular, delimitada holomorphic de las funciones que son constantes (por lo que el complejo de la mitad superior del plano no es una curva algebraica debido a z i/z+i es un almacén de holomorphic función).
Así que los dos principales obstáculos para un complejo colector de ser una variedad algebraica (o, al menos, algebraica de espacio) son que no puede haber un buen compactification (en el anterior sentido) y es posible que no haya suficiente meromorphic funciones.
Decir que un complejo múltiple es una variedad algebraica es una muy fuerte declaración.
winsql
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Mientras que cada algebraicas colector es complejo de la analítica de lo contrario está lejos de la verdad.
Si $M$ es un pequeño complejo colector de entonces $a(M)$, la dimensión algebraica de $M$, se define como la trascendencia grado de $\mathbb C(M)$ más de $\mathbb C$, donde $\mathbb C(M)$ es el campo de meromorphic funciones en $M$.
El algebraicas dimensión es en la mayoría de la dimensión de la $M$ y cuando la igualdad tiene $M$ se llama Moishezon espacio. En general lo que uno tiene es una variedad de $\hat M$ con $\dim \hat M = \dim M$, una variedad proyectiva $N$ con $\dim N = a(M)$, y analítica de morfismos de $\pi : \hat M \a M$ y $\varphi : \hat M \N$ tal que
- $\pi$ es bimeromorphic;
- el genérico de la fibra de $\varphi$ es irreductible;
- el campo de meromorphic funciones en $M$ es la misma que la de $N$. Más precisamente: $\varphi^* \mathbb C(N) = \pi^* \mathbb C ( M)$.
También se ha de señalar que a partir de un topológico punto de vista hay muchos más compacto complejos colectores de de compacto algebraica de los colectores. Para ser más precisos, hay fuertes restricciones en el grupo fundamental de la de compacto Kähler colectores, mientras que hay un profundo resultado de Taubes que implica que cada finitely generado el grupo es el grupo fundamental de un pequeño complejo de 3 $$veces.
Motivado por los comentarios sobre Kuperberg del answwer, permítanme mencionar también que hubo una conjetura por Kodaira afirman que cualquier compacto Kähler colector es la deformación equivalente a proyectivas de los colectores. Mientras que la conjetura es verdadera en dimensión dos, como Kodaira ha a sí mismo se muestra, recientemente ha sido desmentido por Claire Voisin.
Compacto complejos colectores de que no son algebraicas no son artificial bestias. Permítanme recordar una muy natural ejemplo algebraico de la naturaleza. Considere la posibilidad de el cociente de $X=SL(2,\mathbb C)/\Gamma$, donde $\Gamma$ es un discreto cocompact subgrupo. Creo que fue Mostow que demostró que $X$ no tiene ninguna analítica hypersurfaces, lo que implica, en particular, de $a(X)=0$. A ver que $X$ es lejos de una variedad algebraica, a pesar de ser de manera algebraica definida, aviso de que hay $1$-formas en $SL(2,\mathbb C)$ que son invariantes por derecho traducciones y que no están cerrados. Así que inducen global de holomorphic $1$-formas en el cociente de $X$, que no están cerrados. Pero en compacto Kähler colectores, y de manera más general en compacto colectores bimeromorphic a ellos, cada holomorphic $1$-está cerrado.
Zack Peterson
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El Kodaira incrustación teorema establece que un pequeño complejo colector es proyectiva-y por lo tanto algebraicas por Chow del teorema -- si y sólo si tiene un Kaehler estructura con la forma de Kaehler clase. Kaehler colectores son simpléctica, y la integral Kaehler clase significa que el cohomology de la clase de la correspondiente simpléctica forma $\omega$ vidas en la segunda cohomology con $\mathbb{Z}$ coeficientes. Tenga en cuenta que el Kaehler clase de Kaehler colector debe ser distinto de cero, porque el simpléctica volumen $\int_X \omega^{n}$ debe ser distinto de cero.
Así que tal vez una forma de encontrar compacto cosas que no son Kaehler y no proyectiva es buscar cosas con cero segundo cohomology, porque entonces no serían simpléctica. Tal vez hay ejemplos de compacto tóricas de variedades que satisfacen este?
Rick H
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No hay suficiente espacio aquí para escribir la respuesta a su pregunta. Sin embargo, usted puede tener una mirada en el apéndice de Hartshorne y si tienes tiempo, una referencia clásica es Griffiths y Harris: los Principios de la geometría algebraica. Sin embargo, a grandes rasgos, el concepto de positividad informaremos cuando un compacto de Kahler complejo colector es algebraico.
