¿Teniendo en cuenta que $xyz=1$, encontrar $\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+xz}$?

Question

Creo que he resuelto este problema, pero no me siento $100$ por ciento seguro de que mi solución. Tenemos:

$xy=\large {\frac 1z}$

$xz=\large \frac 1y$

$yz=\large \frac 1x$

Así que vamos a sustituir estos en nuestra suma:

$\large \frac{1}{1+x+\frac 1z}+\frac{1}{1+y+\frac 1x}+\frac{1}{1+z+\frac 1y}$

Si nos re-escribir con un común denominador, obtenemos

$\large \frac{z}{1+z+xz}+\frac {x}{1+x+xy}+\frac{y}{1+y+zy}$

Si $\large \frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+xz}=\frac {x}{1+x+xy} +\frac{y}{1+y+zy}+\frac{z}{1+z+xz}$ , $;$ a continuación, $(x, y, z)=1$ y podemos calcular que la suma es igual a $1$.

El problema que tengo con esto es que he encontrado lo que $(x, y, z)$ $had$ a ser, pero yo, pero yo sólo tenía una débil restricción sobre las variables. En segundo lugar, ¿cuáles son otra forma de hacerlo que puedo aprender? Gracias.

Answer 1

\begin{align*} \frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+z+xz}+\frac{1}{1+y+yz}&=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{xy}{xy(1+z+xz)}+\frac{x}{x(1+y+yz)}\\ &=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{xy}{xy+1+x}+\frac{x}{x+xy+1}\\ &=1 \end{align*}

Answer 2

Sólo tenemos que seguir un poco más en el camino que tomó. El primer término es %#% $ #%

Considerar el segundo término $$\frac{1}{1+x+xy}.\tag{1}$ $ mediante su sustitución, (usted) encontramos que se trata de %#% $ #%

Considerar el tercer término $$\frac{1}{1+y+yz}.$ y $$\frac{x}{1+x+xy}.\tag{2}$ $\dfrac{1}{1+z+zx}$ y $z$ $\frac{1}{xy}$. Terminamos con %#% $ #%

Sumar el primer término, la segunda y la tercera, o equivalente (1), (2) y (3). Obtenemos $ de $zx$ $\frac{1}{y}$.