¿Es el espacio de las secciones lisas de un paquete del vector finitamente generado como un módulo de % de $C^\infty$?

Question

¿Dado un vector finito-dimensional lisa paquete $E\to M$ en un % colector liso $M$, es el espacio de suaves secciones global $\Gamma(E,M)$ siempre un módulo de #% finitamente generados %#%? Esto equivale a preguntar si existen finito muchos secciones lisas $C^\infty(M)$ tal que puede escribirse cada $s_1,...,s_m$ $s\in \Gamma(E,M)$ liso funciones $s=f_1 s_1+...+f_m s_m$.

Answer 1

Si $M$ es finito-dimensional y de segunda contables, $\Gamma(E,M)$ es siempre finitely generado más de $C^\infty(M)$. Para ver esto, en primer lugar tenga en cuenta que $M$ tiene un finito que cubre $\{U_1,\dots,U_{k}\}$ que consiste en abrir los conjuntos sobre los que $E$ es trivial. (Ver este post para una explicación. El uso de la teoría topológica cubriendo dimensión, se puede mostrar que es posible la cobertura de $M$ $n+1$ estos conjuntos, donde $n$ es la dimensión de la $M$.) Para cada una de las $i=1,\dots,k$, vamos a $(\sigma_{i1},\dots,\sigma_{im})$ ser un suave local marco para $E$ $U_i$ (donde $m$ es el rango de $E$). Deje $\{\phi_1,\dots,\phi_{k}\}$ ser un suave partición de la unidad subordinada a $\{U_1,\dots,U_k\}$, y para cada una de las $i,j$, definir $$\tilde\sigma_{ij} = \left\{ \begin{matrix} \phi_i\sigma_{ij}, & \text{on }U_i,\\ 0 & \text{on }M\smallsetminus \text{supp }\phi_i. \end{de la matriz} \right.$$ Para cada una de las $i$, vamos a $V_i\subseteq M$ ser el conjunto abierto en el que $\phi_i>0$. Debido a que el $\phi_i$'s suma a $1$, $\{V_1,\dots,V_k\}$ también es una cubierta abierta de a $M$. El $\tilde \sigma_{ij}$'s son suaves global secciones de $E$, con la propiedad de que sus restricciones a $V_i$ span $\Gamma(E,V_i)$ por cada $i$. Deje $\{\psi_1,\dots,\psi_k\}$ ser un suave partición de la unidad subordinada a $\{V_1,\dots,V_k\}$.

Ahora supongamos $S$ es un mundial suave de la sección de $E$. Sobre cada una de las $V_i$, se puede elegir las funciones lisas $f_{i1},\dots,f_{im}\in C^\infty(V_i)$ tal que $S|_{V_i} = f_{i1}\tilde \sigma_{i1}+\dots+f_{im}\tilde \sigma_{im}$. Por lo tanto, a nivel mundial, podemos escribir $$S = \sum_{i=1}^k \psi_i(f_{i1}\tilde \sigma_{i1}+\dots+f_{im}\tilde \sigma_{im}) = \sum_{i,j} \tilde {f_{ij}} \tilde \sigma_{ij},$$ donde $\tilde {f_{ij}}$ es definido globalmente función suave $$\tilde {f _{ij}} = \left\{ \begin{matrix} \psi_i f _{ij}, & \text{on }V_i,\\ 0 & \text{on }M\smallsetminus \text{supp }\psi_i. \end{de la matriz} \right.$$ Por lo tanto las secciones $\tilde \sigma_{ij}$ generar $\Gamma(E,M)$.