¿Dado un vector finito-dimensional lisa paquete E→M en un % colector liso M, es el espacio de suaves secciones global Γ(E,M) siempre un módulo de #% finitamente generados %#%? Esto equivale a preguntar si existen finito muchos secciones lisas C∞(M) tal que puede escribirse cada s1,...,sm s∈Γ(E,M) liso funciones s=f1s1+...+fmsm.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Si M es finito-dimensional y de segunda contables, Γ(E,M) es siempre finitely generado más de C∞(M). Para ver esto, en primer lugar tenga en cuenta que M tiene un finito que cubre {U1,…,Uk} que consiste en abrir los conjuntos sobre los que E es trivial. (Ver este post para una explicación. El uso de la teoría topológica cubriendo dimensión, se puede mostrar que es posible la cobertura de M n+1 estos conjuntos, donde n es la dimensión de la M.) Para cada una de las i=1,…,k, vamos a (σi1,…,σim) ser un suave local marco para E Ui (donde m es el rango de E). Deje {ϕ1,…,ϕk} ser un suave partición de la unidad subordinada a {U1,…,Uk}, y para cada una de las i,j, definir
\tilde\sigma_{ij} = \left\{
\begin{matrix}
\phi_i\sigma_{ij}, & \text{on }U_i,\\
0 & \text{on }M\smallsetminus \text{supp }\phi_i.
\end{de la matriz}
\right.
Para cada una de las i, vamos a Vi⊆M ser el conjunto abierto en el que ϕi>0. Debido a que el ϕi's suma a 1,
{V1,…,Vk} también es una cubierta abierta de a M. El
˜σij's son suaves global secciones de E, con la propiedad de que sus restricciones a Vi span Γ(E,Vi) por cada i.
Deje {ψ1,…,ψk} ser un suave partición de la unidad subordinada a {V1,…,Vk}.
Ahora supongamos S es un mundial suave de la sección de E. Sobre cada una de las Vi, se puede elegir las funciones lisas fi1,…,fim∈C∞(Vi) tal que S|Vi=fi1˜σi1+⋯+fim˜σim. Por lo tanto, a nivel mundial, podemos escribir
S=k∑i=1ψi(fi1˜σi1+⋯+fim˜σim)=∑i,j~fij˜σij,
donde ~fij es definido globalmente función suave
\tilde {f _{ij}} = \left\{
\begin{matrix}
\psi_i f _{ij}, & \text{on }V_i,\\
0 & \text{on }M\smallsetminus \text{supp }\psi_i.
\end{de la matriz}
\right.
Por lo tanto las secciones ˜σij generar Γ(E,M).