¿Dado un vector finito-dimensional lisa paquete E\to M en un % colector liso M, es el espacio de suaves secciones global \Gamma(E,M) siempre un módulo de #% finitamente generados %#%? Esto equivale a preguntar si existen finito muchos secciones lisas C^\infty(M) tal que puede escribirse cada s_1,...,s_m s\in \Gamma(E,M) liso funciones s=f_1 s_1+...+f_m s_m.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Si M es finito-dimensional y de segunda contables, \Gamma(E,M) es siempre finitely generado más de C^\infty(M). Para ver esto, en primer lugar tenga en cuenta que M tiene un finito que cubre \{U_1,\dots,U_{k}\} que consiste en abrir los conjuntos sobre los que E es trivial. (Ver este post para una explicación. El uso de la teoría topológica cubriendo dimensión, se puede mostrar que es posible la cobertura de M n+1 estos conjuntos, donde n es la dimensión de la M.) Para cada una de las i=1,\dots,k, vamos a (\sigma_{i1},\dots,\sigma_{im}) ser un suave local marco para E U_i (donde m es el rango de E). Deje \{\phi_1,\dots,\phi_{k}\} ser un suave partición de la unidad subordinada a \{U_1,\dots,U_k\}, y para cada una de las i,j, definir \tilde\sigma_{ij} = \left\{ \begin{matrix} \phi_i\sigma_{ij}, & \text{on }U_i,\\ 0 & \text{on }M\smallsetminus \text{supp }\phi_i. \end{de la matriz} \right. Para cada una de las i, vamos a V_i\subseteq M ser el conjunto abierto en el que \phi_i>0. Debido a que el \phi_i's suma a 1, \{V_1,\dots,V_k\} también es una cubierta abierta de a M. El \tilde \sigma_{ij}'s son suaves global secciones de E, con la propiedad de que sus restricciones a V_i span \Gamma(E,V_i) por cada i. Deje \{\psi_1,\dots,\psi_k\} ser un suave partición de la unidad subordinada a \{V_1,\dots,V_k\}.
Ahora supongamos S es un mundial suave de la sección de E. Sobre cada una de las V_i, se puede elegir las funciones lisas f_{i1},\dots,f_{im}\in C^\infty(V_i) tal que S|_{V_i} = f_{i1}\tilde \sigma_{i1}+\dots+f_{im}\tilde \sigma_{im}. Por lo tanto, a nivel mundial, podemos escribir S = \sum_{i=1}^k \psi_i(f_{i1}\tilde \sigma_{i1}+\dots+f_{im}\tilde \sigma_{im}) = \sum_{i,j} \tilde {f_{ij}} \tilde \sigma_{ij}, donde \tilde {f_{ij}} es definido globalmente función suave \tilde {f _{ij}} = \left\{ \begin{matrix} \psi_i f _{ij}, & \text{on }V_i,\\ 0 & \text{on }M\smallsetminus \text{supp }\psi_i. \end{de la matriz} \right. Por lo tanto las secciones \tilde \sigma_{ij} generar \Gamma(E,M).