Es allí una manera de calcular la integral definida de la inversa de una 5to grado del polinomio?

Question

Quiero calcular la integral definida de la inversa de una 5to grado del polinomio. El problema es que el inverso de la polinomio no se puede calcular (mediante el uso de Matlab). Sin embargo, sin el cálculo de la inversa de la función, puedo calcular el $x$$y$, de modo que $f(x)=y$ (mediante el uso de un solver). Hay una lógica simple para calcular el área en la analogía.

Por ejemplo, el inverso de a $x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

Answer 1

Si una función es estrictamente creciente en un intervalo, entonces la integral de la función inversa puede ser visto por un dibujo. Usted verá:

$$\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(y)\,dy + \int_{a}^{b} f(x)\,dx = bf(b)-af(a)\tag 1$$

Esto puede ser demostrado (ver más abajo), pero geométricamente, las dos áreas se suman a un rectángulo de menos de un rectángulo. Esto es más evidente si se dibuja una imagen al $0<a<b,f(a),f(b)>0$.

Así:

$$\begin{align} \int_{c}^{d} f^{-1}(y)\,dy &= \int_{f(f^{-1}(c))}^{f(f^{-1}(d))} f^{-1}(y)\,dy\\ &=f^{-1}(d)d-f^{-1}(c)c - \int_{f^{-1}(c)}^{f^{-1}(d)}f(x)\,dx\tag{2} \end{align}$$

Si $f$ es decreciente, entonces la imagen de los rendimientos de diferentes parecer fórmula. Entonces:

$$\int_{f(b)}^{f(a)} f^{-1}(y)\,dy - a(f(a)-f(b))= \int_{a}^{b} f(x)\,dx - f(b)(b-a)$$

Pero la re-jiggering que la fórmula da la misma fórmula $(1)$ por encima.

De modo que (2) obras, si usted sabe que $f$ es estrictamente creciente o decreciente en su región.

Eso significa que usted sólo necesita calcular dos valores específicos de $f^{-1}$ para obtener la integral, si sabes cómo integrar la $f$.

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Usted puede comprobar esto por $f$ $f^{-1}$ diferenciable con un relativamente simple sustitución.

La regla de la cadena se muestra que:

$$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$$

Así que vamos a $u=f^{-1}(y)$$dy=f'(u)\,du$:

$$\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(y)\,dy = \int_{a}^{b} uf'(u)\,du$$

A continuación, integración por partes da que el lado derecho es $bf(b)-af(a) -\int_a^b f(u)\,du$.